Relation D Équivalence Et Relation D Ordre Alkiane – Maison A Vendre Vinassan

Wed, 17 Jul 2024 02:15:58 +0000
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Donc, on a bien x\mathcal R y \text{ et} y\mathcal R z \Rightarrow x \mathcal R z Classe d'équivalence Définition Pour les relations d'équivalence, on a une notion de classe, elle se définit comme suit. Soit E un ensemble, R une relation d'équivalence et a un élément de E. On définit la classe de a par Cl(a) = \{ x \in E, a\mathcal Rx\} Propriété On a la propriété suivante: x \mathcal R y \iff Cl(x) = Cl(y) Exemple Prenons la relation d'équivalence définie plus haut. Soit x un réel, sa classe d'équivalence est alors: Cl(x) = \{y \in \mathbb{R}, |x|=|y|\}= \{\pm x\} Exercices Pour les exercices, allez plutôt voir notre page dédiée Exercices corrigés Exercice 900 Question 1 La relation est bien réflexive: O, M, M ne représentent que deux points et sont donc nécessairement alignés Elle est symétrique: Si O, M, N sont alignés alors O, N, M aussi, l'ordre n'ayant pas d'importance Et cette relation est transitive: Si O, M, N sont alignés et O, N, P aussi alors O, M, N, P sont alignés donc O, M, P aussi Question 2 Repartons de la définition.

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En appliquant le théorème de factorisation ci-dessus, on peut donc définir la loi quotient comme l'unique application g: E /~ × E /~ → E /~ telle que f = g ∘ p. ) Exemples Sur le corps ordonné des réels, la relation « a le même signe que » (comprise au sens strict) a trois classes d'équivalence: l'ensemble des entiers strictement positifs; l'ensemble des entiers strictement négatifs; le singleton {0}. La multiplication est compatible avec cette relation d'équivalence et la règle des signes est l'expression de la loi quotient. Si E est muni d'une structure de groupe, on associe à tout sous-groupe normal une relation d'équivalence compatible, ce qui permet de définir un groupe quotient. Relation d'équivalence engendrée [ modifier | modifier le code] Sur un ensemble E, soit R une relation binaire, identifiée à son graphe. L'intersection de toutes les relations d'équivalence sur E qui contiennent R est appelée la relation d'équivalence (sur E) engendrée par R [ 5]. Elle est égale à la clôture réflexive transitive de R ∪ R −1.

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L'ensemble des classes d'équivalence forme une partition de E. Démonstration Par réflexivité de ~, tout élément de E appartient à sa classe, donc: les classes sont non vides et recouvrent E; [ x] = [ y] ⇒ x ~ y. Par transitivité, x ~ y ⇒ [ y] ⊂ [ x] donc par symétrie, x ~ y ⇒ [ x] = [ y]. D'après cette dernière implication, ( x ~ z et y ~ z) ⇒ [ x] = [ y] donc par contraposition, deux classes distinctes sont disjointes. Inversement, toute partition d'un ensemble E définit une relation d'équivalence sur E. Ceci établit une bijection naturelle entre les partitions d'un ensemble et les relations d'équivalence sur cet ensemble. Le nombre de relations d'équivalence sur un ensemble à n éléments est donc égal au nombre de Bell B n, qui peut se calculer par récurrence. Exemples [ modifier | modifier le code] Le parallélisme, sur l'ensemble des droites d'un espace affine, est une relation d'équivalence, dont les classes sont les directions. Toute application f: E → F induit sur E la relation d'équivalence « avoir même image par f ».

Si Z et Z' sont deux représentants de X inclus dans A, on a: Z = Z\cap A = X \cap A = Z' \cap A = Z' Donc le représentant est bien unique. Question 4 Utilisons la question précédente: Pour chaque classe, on a un unique représentant qui est inclus dans A. On a donc autant de classes que de sous-ensembles de A, c'est à dire 2 k Cet article vous a plu? Retrouvez nos derniers articles sur le même thème: Tagged: algèbre concours cours cours de maths Exercices corrigés mathématiques maths prépas Navigation de l'article

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