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Sun, 14 Jul 2024 08:23:47 +0000
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A partir de la classe de 4e. Voici un condensé de cours sur les puissances: règles de calcul et forme scientifique des nombres décimaux. L'écriture des nombres sous forme de puissances se prête à des règles de calcul simples. 1. Définitions Pour tout nombre a a on définit les puissances de a a par: a 2 = a × a a^2 = a \times a ( 1) (1) a 3 = a × a × a a^3 = a \times a \times a ( 2) (2) etc... et de façon générale, a n = a × a ×.... Solution Cours soutien scolaire et cours à domicile sur toute la FranceSoutien scolaire, Cours particuliers avec Solution Cours à domicile | Cours particuliers et soutien scolaire à domicile. × a \boxed{a^n = a \times a \times.... \times a} ( 3) (3) Ici avec n n entier ⩾ 3 \geqslant 3. Dans cette dernière ligne, le nombre a a figure n n fois. Le symbole a n a^n représente donc le résultat de la multiplication de a a par lui-même autant de fois qu'indiqué par n n. On dit que a n a^n est la puissance n -ième de a a, et n n est appelé exposant de cette puissance. Cette définition admet pour extensions les importants cas particuliers suivants: a 1 = a a^1 = a et a 0 = 1 a^0 = 1 ( 4) (4) On est conduit à poser (en cohérence avec les règles de calcul de la section suivante les définitions suivantes) a − 1 = 1 a a^{-1} =\dfrac{1}{a} ( 5) (5) a − 2 = 1 a 2 a^{-2} =\dfrac{1}{a^2} ( 6) (6) et plus généralement a − n = 1 a n \boxed{a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}} ( 7) (7) où n n est ici un nombre entier positif.

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C'est pourquoi, dans l'étape 7, on retrouve (entourés en bleu) les nombres « 2 » en bas (plus grand que 1), et les nombres « n » en haut (plus petit que (n+1))! Cours sur les sommes de. L'exemple ci-dessous correspond à la soustraction de deux sommes ( ∑(1/k) – ∑(1/(k+1))) sur laquelle il va falloir changer les indices: Dans l'étape 1, il faut se débarrasser du terme encombrant (1/k+1), on le remplace donc dans l'étape 2 par (1/j) qui ressemble à (1/k) et que l'on pourra annuler lors de l'étape 9! Dans l'étape 3, on réalise l'addition suivante: j = 1 (+ 1), le deuxième 1 provient du changement de variable j = k + 1. Dans l'étape 5, il faut que les termes en haut de la somme soient les moins élevés, tandis qu'en bas, il faut qu'ils soient les plus élevés, comme pour une pyramide! L'étape 6 est la continuité de l'étape 5, elle nous montre que le fait d 'ajouter 1 en bas pour obtenir 2 et que de soustraire 1 en haut pour obte nir n, engendre un calcul de sommes, dans lequel les termes entourés en jaune doivent être additionnés à la somme correspondante (+1/k pour la première somme, et +1/j pour la deuxième), ensuite le 1/k de la première somme et le 1/j de la deuxième doivent être remplacés par les termes entourés en vert, on obtient ainsi 1/1 et 1/(n+1).

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En particulier, l'ensemble des suites à valeurs réelles (resp. à valeurs complexes) est un $\mathbb R$-espace vectoriel (resp. un $\mathbb C$-espace vectoriel). Proposition: Soit $E_1, \dots, E_n$ des $\mathbb K$-espaces vectoriels. Alors le produit cartésien $E_1\times\dots\times E_n$, muni de l'addition $$(x_1, \dots, x_n)+(y_1, \dots, y_n)=(x_1+y_1, \dots, x_n+y_n)$$ et de la multiplication externe $$\lambda\cdot (x_1, \dots, x_n)=(\lambda x_1, \cdots, \lambda x_n)$$ est un $\mathbb K$-espace vectoriel. Famille de vecteurs Dans cette partie, $E$ désigne un espace vectoriel sur $\mathbb K$. Une combinaison linéaire de la famille finie de vecteurs $(x_1, \dots, x_n)$ de $E$ est un vecteur $x\in E$ s'écrivant $x=\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i$ où les $\alpha_i$ sont des éléments de $\mathbb K$. Les nombres relatifs - 5e - Cours Mathématiques - Kartable. Une combinaison linéaire d'une famille quelconque $(x_i)_{i\in I}$ est un vecteur $x$ s'écrivant $x=\sum_{i\in I}\alpha_i x_i$ où tous les $\alpha_i$, sauf un nombre fini, sont nuls. Une famille finie de vecteurs $(x_1, \dots, x_n)$ est libre si, pour tout choix de $\alpha_1, \dots, \alpha_n\in\mathbb K$, $$\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i=0\implies \forall i\in\{1, \dots, n\}, \ \alpha_i=0.

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En effet, pour un même niveau de dividende par action distribué, le ratio sera d'autant plus élevé que le cours est bas. Mais en ce cas le propriétaire de l'action risque de n'avoir qu'une faible plus-value ou même de subir une moins-value s'il vend son action lorsque le cours est bas. Cours sur les sommes dans. La rentabilité totale de son investissement peut être faible ou négative, alors que le rendement affiché sera élevé. Les grandes entreprises de l'internet, comme Facebook ou Google, distribuent relativement peu de dividendes. Ce qui n'empêche pas leurs actions d'obtenir une forte rentabilité du fait d'une forte croissance de l'entreprise et d'une hausse rapide du cours de l'action (donc d'une plus-value intéressante pour les actionnaires). Les valeurs de rendement Les « valeurs de rendement » sont les sociétés qui distribuent une part importante de leurs bénéfices sous forme de dividendes… Certains gérants de portefeuille en ont fait un thème d'investissement et ont créé des FCP ou des Sicav spécifiques.

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