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Il s'agit d'une erreur de type II. On l'appelle également une condition de faux positif (une situation qui indique qu'une condition donnée n'est pas présente mais qu'elle est réellement présente). L'erreur de type II est désignée par $ \ beta $ et est également appelée niveau bêta. Le but d'un test statistique est de déterminer qu'une hypothèse nulle peut être rejetée ou non. Un test statistique peut rejeter ou ne pas pouvoir rejeter une hypothèse nulle. Le tableau suivant illustre la relation entre la véracité ou la fausseté de l'hypothèse nulle et les résultats du test en termes d'erreur de type I ou II. Jugement L'hypothèse nulle ($ H_0 $) est Type d'erreur Inférence Rejeter Valide Erreur de type I (faux positif) Incorrect Invalide Vrai positif Correct Impossible de rejeter Vrai négatif Erreur de type II (faux négatif) Incorrect

Erreur De Type 1 Et 2

Supposons que l'hypothèse valide soit H 1 avec la distribution de probabilité suivante: Pour notre exemple d'écart de rémunération entre les sexes, H 1 affirme que les hommes gagnent 2% de plus que les femmes. Donc, nous devons trouver la probabilité de ne pas rejeter le mauvais H 0, à condition que H 1 soit vrai. Ne pas rejeter H 0 signifie que la différence que nous avons observée était inférieure à la valeur critique de 1%. Nous devons donc calculer la probabilité d'obtenir des observations moins extrêmes que cela, en supposant que H 1 est vrai. Cela nous donne la zone rouge, et nous la désignons par la lettre grecque β (beta). La zone hachurée en rouge est la probabilité d'erreur de type II mais pour l'hypothèse H 1. En fait, cette erreur dépend de H 1. Vous pouvez voir sur l'image que l'erreur de type II est plus grande si H 1 est plus proche de la mauvaise hypothèse que vous n'avez pas rejetée. Choisir des valeurs plus grandes pour α augmente la probabilité d'erreur de type II. Puissance d'un test statistique La puissance d'un test statistique est la probabilité de rejeter la mauvaise hypothèse nulle H 0, lorsque H 1 est valide.

Erreur De Type 1 Statistique

Les cas extrêmes étant • avoir un test de grossesse qui déclare tout le monde enceinte: on ne rejette alors jamais à tort (on ne rejette jamais tout court en fait), mais on a un fort taux d'acceptation à tort, • avoir un test de grossesse qui ne déclare personne enceinte: on n'accepte jamais à tort (car on n'accepte jamais) mais on a un fort taux de rejet à tort. Bref, on a un arbitrage à faire entre deux types d'erreurs. Souvent, en pratique on va demander à contrôler l'erreur de première espèce (i. e. \alpha de l'ordre de 5%), et on chercher a un test qui, à \alpha donné, possède la plus faible erreur de première espèce. Voilà en gros pour la théorie: on se donne un seuil de significativité \alpha, qui correspond à la probabilité d'erreur de premier type. Et on va chercher à tester si une hypothèse H_0 est vraie, l'alternative étant une hypothèse H_1. H_0 vraie H_1 vraie accepter H_0 OK erreur type 2 rejeter H_0 type 1 La "valeur critique" La notion de valeur critique a été introduite dans Neyman & Pearson (1928).

Erreur De Type 2

Pour réduire ce risque, vous devez utiliser une valeur d'α plus faible. Toutefois, cela implique que vous serez moins à même de détecter une vraie différence si celle-ci existe vraiment. Erreur de 2e espèce Lorsque l'hypothèse nulle est fausse et que vous ne la rejetez pas, vous faites une erreur de 2e espèce. La probabilité de commettre une erreur de 2e espèce est β, qui dépend de la puissance du test. Vous pouvez réduire le risque de commettre une erreur de 2e espèce en faisant en sorte que le test soit suffisamment puissant. Pour ce faire, veillez à ce que l'effectif d'échantillon soit suffisamment grand pour permettre la détection d'une différence réelle. La probabilité de rejeter l'hypothèse nulle lorsqu'elle est fausse est égale à 1 – β. Il s'agit de la puissance du test.

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Moralité, si on sait interpréter une p -value (et que l'on vérifié au préalable les conditions d'application d'un test), on peut faire tous les tests que l'on veut! Si on veut faire un peu plus compliqué, on peut regarder la distribution des notes, et se demander si une loi \mathcal{N}(60, 15^2) serait possible (par exemple, ça sera notre hypothèse H_0, l'hypothèse alternative étant que ce n'est pas cette loi). Pour faire ce test, il existe le test de Kolmogorov-Smirnov. La statistique de test est ici T=\sup\{\vert \widehat{F}_n(x)-F_0(x)\vert, x\in\mathbb{R}\} où F_0(\cdot) est la fonction de répartition de la loi \mathcal{N}(60, 15^2), et \widehat{F}_n(\cdot) est la fonction de répartition empirique \widehat{F}_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbf{1}(x_i\leq x) La loi de T n'est pas simple, ou moins simple qu'une loi de Student (cf Marsaglia, Tsang & Wang (2003) par exemple). En revanche, on a les p -values automatiquement, > (Y, "pnorm", 60, 15) One- sample Kolmogorov-Smirnov test data: Y D = 0.

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155754 et pour les degrés de liberté > (nu=(Sx2/nX+Sy2/nY)^2/(Sx2^2/nX^2/(nX-1)+ + Sy2^2/nY^2/(nY-1))) [1] 36. 35279 La valeur critique est obtenue en lisant dans les tables, (car ici on a des probabilité pour un test bilatéral dans la table) comme on apprenait dans les cours de statistique au siècle passé. D'un point de vue informatique, on cherche à savoir si on est à gauche, ou à droite de la valeur critique > qt (. 05, df =nu) [1] -1. 687865 On peut aussi calculer la p -value, > pt (T, df =nu) [1] 0. 01889768 Si on regarde, sous R, il existe des fonctions de tests, pour comparer des moyennes. Et dans ce cas, la sortie est > (X, Y, alternative = "less") Welch Two Sample t-test data: X and Y t = -2. 1558, df = 36. 353, p-value = 0. 0189 alternative hypothesis: true difference in means is less than 0 95 percent confidence interval: -Inf -1. 772507 sample estimates: mean of x mean of y 48. 75000 56. 91667 Autrement dit, on a automatiquement la p -value, et qui permet rapidement d'interpréter le test.