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Wed, 17 Jul 2024 12:15:56 +0000
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On en déduit, pour autant que le théorème soit vrai, que les vecteurs \( k(\vec{c}-\lambda \vec{a} - \mu \vec{b})\) se projettent sur le vecteur nul. Cette observation permet de déduire que la direction de projection est celle du vecteur \(\vec{p} = \vec{c} -\lambda \vec{a} - \mu \vec{b}\). La direction de projection étant déterminée, nous pouvons amener \(O\) sur la droite de direction \(\vec{p}\) passant par \(o\). Comment dessiner une commode de la. Il suffira de montrer qu'on peut orienter le plan \(P\) autour de \(O\) de telle sorte que la projection du trièdre \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) parallèlement à \(\vec{p}\) soit \(\vec{A}', \vec{B}', \vec{C}'\) semblable à \(\vec {A}, \vec {B}, \vec {C}\). Remarquons qu'il suffit de ne s'intéresser qu'aux vecteurs \(A\) et \(B\), étant donné que le vecteur \(C\) est lié à ces deux vecteurs par la relation \(\vec{C}=\lambda \vec{A} + \mu \vec{B}\). À ce stade de l'analyse, il est commode d'utiliser des coordonnées. Pour ce faire, on choisit dans l'espace un nouveau repère dont l'un des vecteurs est dirigé selon la direction de projection.

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Soit \(D\) un plan perpendiculaire à \(\vec{p}\) contenant les deux autres vecteurs de base de notre repère. Les deux vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) se projettent dans \(D\) selon deux vecteurs \(\vec{a}', \vec{b}'\) de coordonnées \((a_1, a_2, 0)\) et \((b_1, b_2, 0)\). Comment décorer un petit salon facilement en 12 étapes. La section par le plan \(P\) donnera deux vecteurs \(\vec{A}'\)et \(\vec{B}'\) de coordonnées \((a_1, a_2, x)\) et \((b_1, b_2, y)\). Choisir la position du plan \(P\) revient à choisir \(x\) et \(y\) de telle manière que les vecteurs \(\vec{A}'\) et \(\vec{B}'\) soient semblables aux vecteurs \(\vec{A}\) et \(\vec{B}\). Les conditions s'écrivent: \[ \mathbf{cos~} \varphi = \frac {a_1b_1 + a_2b_2 + x y} {\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + x^2} \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + y^2}} \] et \[ k= \frac {\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + x^2}} {\sqrt {b_1^2 + b_2^2 + y^2}} \] où \(\varphi\) désigne l'angle des vecteurs \(A~et~B\), et \(k\) le rapport des longueurs de \(A\) et \(B\). De ces deux équations en \(x\) et\(y\) on tire: \[ a_1^2 + a_2^2 + x^2 = k^2(b_1^2 + b_2^2 + y^2)\] \[ a_1b_1 + a_2b_2 + x y = k \mathbf{cos~} \varphi (b_1^2 + b_2^2 + y^2) \] Ces équations en \(x, y\) représentent dans le plan \(Oxy\) deux hyperboles centrées à l'origine: la première d'asymptotes \(x^2 = ky^2 \), la seconde d'asymptotes \(xy = ky^2 \mathbf{cos~} \varphi \).