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Démonstration Après ce résultat préliminaire, montrons maintenant le résultat suivant par récurrence: \forall x \in \mathbb{R}_+^*, \Gamma^{(k)}(x) = \int_0^{+\infty}(\ln t)^k e^{-t}t^{x-1} dt Initialisation: Comme f est bien définie, de classe C 1 en tant que fonction à 2 variables, et comme elle est dominée sur tout segment [a, b], cf notre résultat préliminaire. On peut alors affirmer, par théorème de dérivation sous l'intégrable que Γ est de classe C 1 avec \forall x \in \mathbb{R}_+^*, \Gamma'(x) = \int_0^{+\infty}(\ln t) e^{-t}t^{x-1} dt L'initialisation est maintenant vérifiée. Gamma-butyrolactone Croissance du marché, tendances à venir, part des entreprises, structure et analyse régionale d’ici 2028 | Echobuzz221. Hérédité: Supposons que pour un rang k fixé, Γ est de classe C k avec \forall x \in \mathbb{R}_+^*, \Gamma^{(k)}(x) = \int_0^{+\infty}(\ln t)^k e^{-t}t^{x-1} dt Comme f est de classe C k+1 en dérivant par rapport à x et que cette dérivée est continue par rapport à x et par rapport à t. On a que \dfrac{\partial^k f}{\partial x^k}(x, t) est de classe C 1. De plus \dfrac{\partial^{k+1} f}{\partial x^{k+1}}(x, t) vérifie l'hypothèse de domination d'après le lemme préliminaire.

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f est continue donc continue par morceaux par rapport à t sur]0, +∞[. f est définie sur]0, +∞[.

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Mais si on veut aller jusqu'au bout, ça demande un travail supplémentaire. Mais peut-être ce travail a été fait par ailleurs, dans ton cours?

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Proposition: G est C, avec G (n) = Démonstration: Posons f n (x) =. On a alors, pour tout n, f n est C et pour tout entier k, f n (k) (x) = Il est alors évident que f n converge simplement vers G et même plus généralement, quelque soit k, f n (k) converge simplement vers G k =. Nous allons maintenant montrer qu'il y a convergence uniforme sur tout segment [a, b] R +*. Soit k N. Soit e > 0. Soient a, b R, tels que 0 < a < b. x [a, b], |f n (k) (x) - G k (x)| +. Par convergence simple de f n (k) (a) vers G k (a), il vient: N 1 N / n > N 1, <. Par convergence simple de f n (k) (b) vers G k (b), il vient: N 2 N / n > N 2, Posons N 3 = Max(N 1, N 2). Il vient alors: n > N 3, x [a, b], |f n (k) (x) - G k (x)| < e. La convergence uniforme est donc démontrée. Cours de statistique : fonction gamma. Il s'en suit que G 0 (= G) est C, et donc que G (n) =. (Voir le cours sur les suites de fonctions) Graphe de G. G est convexe G est logarithmiquement convexe Nous allons donc montrer que ln( G) est convexe Proposition G (x+1) = x. G (x).

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Il est actuellement 19h42.

Démonstration On a G (x+1) = Si on intègre par partie, il vient: = x. n x. e -n + x. Si on passe à la limite, il vient: x. e -n = 0 = G (x) D'où G (x+1) = 0 + x. G (x) Corollaire: On en déduit G (n) = (n-1)! pour n > 0 N: En effet, en appliquant le résultat précédent, il vient n N *, G (n) = G (1). n! Or G (1) = = 1 D'où le résultat.

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