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Par définition, lim sup n→+∞ xn = lim n→+∞ sup k≥n xk et lim inf inf k≥n xk. Définition 5 (LIMSUP, LIMINF) définition s'étend aux suites non nécessairement bornées, en posant lim sup xn = +∞ si la suite n'est pas majorée, et lim inf xn = −∞ si la suite n'est pas minorée. 2. La suite (sup k≥n xk)n ∈ N étant décroissante, elle admet toujours une limite dans R ∪ {−∞, +∞}. De même, la suite (inf xk)n ∈ N étant croissante, elle admet toujours une limite dans R ∪ {−∞, +∞}. Il est commode de relier la limsup et la liminf d'une suite à ses valeurs d'adhérence. Soit (xn)n ∈ N une suite réelle et a ∈ R ∪ {−∞, +∞}. On dit que a est une valeur d'adhérence de (xn)n ∈ N si et seulement s'il existe une sous-suite de (xn)n ∈ N qui tend vers a. Définition 6 (VALEUR D'ADHERENCE) On a alors: Rappels suites complexes, limsup de suites réelles 2. Cours Analyse 5 Fonctions de Plusieurs Variables SMA S3 PDF. 2 Limite sup et inf Soit (xn)n ∈ N une suite réelle. Sa limite supérieure est la plus grande de ses valeurs d'adhérence, et sa limite inférieure est la plus petite.

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1 Applications deux fois différentiables 6. 2 Exemples de différentielles d'ordre 2 6. 3 Matrice Hessienne 6. 4 Différentielle d'ordre k 6. 5 Formule de Taylor avec reste intégral 6. 5. 1 Fonction d'une variable réelle à valeur réelle 6. 2 Fonction d'une variable réelle à valeurs dans Rq 6. 3 Fonction de Rp à valeurs dans Rq 6. 6 Formule de Taylor-Lagrange 6. 1 Fonction d'une variable réelle à valeur dans Rq 6. 2 Fonction de Rp à valeur dans Rq 6. 7 Formule de Taylor-Young 7 Extrema 7. 1 Rappels d'algèbre 7. 2 Extrema libres 7. 1 Condictions nécessaires du premier ordre 7. 2 Conditions du second ordre 7. 3 Critères avec les matrices Hessiennes 7. 4 Cas particulier où f: R2 → R 7. 3 Extrema liés 7. Cours sma s3 login. 3. 1 Contraintes 7. 2 Extrema liés avec une seule contrainte 7. 3 Extrema liés avec plusieurs contraintes 7. 4 Convexité et minima programme de ce module: M16: Analyse 5: Fonctions de Plusieurs Variables Ch. I. Espaces vectoriels normés et topologie de (4 séances) Normes, Normes équivalentes.

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2. Dans R on définit des voisinages de +∞ et −∞, ce qui permet de définir des limites infinies. Dans C on ne le fait pas: une limite infinie dans C n'a aucun sens! Comme dans R, on définit les suites de Cauchy. Rappels suites complexes, limsup de suites réelles 2. 1 Suites complexes Soit (zn)n ∈ N une suite complexe. Cours Probabilités Statistiques SMA S3 PDF. On dit que (zn)n ∈ N est une suite de Cauchy si et seulement si on a: pour tout ε > 0, il existe Nε ∈ N tel que (n ≥ Nε et m ≥ Nε) ⇒ |zn − zm| ≤ ε. Définition 4 (SUITE DE CAUCHY) Comme dans R, on a alors: Dans C, toute suite de Cauchy est convergente. Autrement dit C est complet. Propriété 2 (C EST COMPLET) Pour le démontrer, on décompose la suite complexe en sa partie réelle et sa partie imaginaire. On a: Soit (zn)n ∈ N une suite complexe. Les propositions suivantes sont équivalentes: — (zn)n ∈ N est de Cauchy (dans C), — (Re(zn))n ∈ N et (Im(zn))n ∈ N sont de Cauchy (dans R), et (Im(zn))n ∈ N convergent (dans R), — (zn)n ∈ N converge (dans C). Propriété 3 (CONVERGENCE (CAUCHY)) Lorsqu'on utilise la formulation module-argument: Soit (zn)n ∈ N une suite complexe et l ∈ C.

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