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Si les fonctions et sont continues sur et dérivables sur et si, alors est constante sur. On détermine cette constante, en calculant où ou en cherchant la limité de en l'une des bornes de. En utilisant la première méthode, calculer. Correction: est défini ssi. On simplifie pour. Puis comme, On en déduit puisque est impaire:. En utilisant une dérivée, calculer. Correction: On note si,. est impaire et dérivable sur. est donc constante sur. Fonctions usuelles – Maths Inter. Pour déterminer cette constante, on peut utiliser ou utiliser la limite de en: cette limite est égale à. Les deux calculs donnent. si. On a donc redémontré que. D'autres cours de Maths au programme de Maths Sup pour les filières PTSI, PCSI et MPSI sont également accessibles gratuitement: primitives équations différentielles suites numériques limites et continuité dérivées

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Généralités sur les fonctions Soit $I$ un intervalle symétrique par rapport à $0$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ est paire si pour tout $x\in I$, $f(-x)=f(x)$. La courbe représentative $\mathcal C_f$ de $f$ dans un repère orthonormé est alors symétrique par rapport à l'axe $(Oy)$. Soit $I$ un intervalle symétrique par rapport à $0$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ est impaire si pour tout $x\in I$, $f(-x)=-f(x)$. La courbe représentative $\mathcal C_f$ de $f$ dans un repère orthonormé est alors symétrique par rapport à l'origine. Les fonctions usuelles cours de. Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ et soit $a>0$. On dit que $f$ est périodique de période $a$ si, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x+a)=f(x)$. La courbe représentative $\mathcal C_f$ de $f$ dans un repère orthonormé est invariante par translation de vecteur $a\vec i$. Si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ vérifie $f(a-x)=f(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$, alors la courbe représentative $\mathcal C_f$ de $f$ dans un repère orthonormé est alors symétrique par rapport à la droite $x=a/2$.

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On appelle $x$ le logarithme népérien de $y$ et on note $x=\ln(y)$. Proposition (relation fonctionnelle de la fonction logarithme): Soit $x, y>0$. On a $\ln(x\cdot y)=\ln(x)+ \ln(y)$. En particulier, on a $\ln\left(\frac 1x\right)=-\ln (x)$. Théorème: La fonction logarithme est dérivable sur $]0, +\infty[$ et pour tout $x>0$, on a $(\ln)'(x)=\frac 1x$. On tire de la proposition précédente ou du fait que la réciproque d'une fonction strictement croissante est strictement croissante que le logarithme népérien est strictement croissant sur $]0, +\infty[$. Proposition (limite aux bornes et croissance comparée): On a $\lim_{x\to+\infty}{\ln x}=+\infty$ et $\lim_{x\to 0}\ln x=-\infty$. De plus, pour tout $n\geq 1$, on a $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0$ et $\lim_{x\to 0}x^n\ln(x)=0$. Les fonctions usuelles - 2nde - Cours Mathématiques - Kartable. On définit également le logarithme de base $a>0$ par $\log_a(x)=\frac{\ln x}{\ln a}$ et l'exponentielle de base $a$ par $a^x=\exp(x\ln a)$. L'étude de ces fonctions se ramène immédiatement à l'étude des fonctions logarithme et exponentielle.

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On peut calculer le coefficient directeur: a=\dfrac{f\left(8\right)-f\left(3\right)}{8-3}=\dfrac{-7-2}{8-3}=\dfrac{-9}{5} On en déduit alors l'ordonnée à l'origine: b = f\left(3\right)-3a=2-3\times\left( -\dfrac{9}{5} \right)=2+\dfrac{27}{5}=\dfrac{37}{5} La fonction carré est la fonction définie sur \mathbb{R} par: f\left(x\right) = x^{2} La fonction carré est strictement décroissante sur \left]-\infty, 0 \right] et strictement croissante sur \left[ 0, +\infty \right[. La courbe représentative de la fonction carré est une parabole dont le sommet est l'origine O du repère. La fonction carré est toujours positive ou nulle. Les fonctions usuelles cours en. La fonction carré est une fonction paire. Autrement dit, son ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 et, pour tout réel x, f\left(-x\right)=f\left(x\right). Notons f la fonction carré. f étant paire, on a: f\left(-5\right)=f\left(5\right) f\left(-3\right)=f\left(3\right) f\left(-10\right)=f\left(10\right) Le tableau suivant donne quelques images de réels par la fonction carré: x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 2 16 9 4 1 0 1 4 9 16 La fonction carré étant paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Fonctions puissance Définition: pour $\alpha\in\mathbb R$, $x^\alpha=\exp(\alpha \ln x)$; Domaine de définition: $\mathbb R_+^*$, sauf si $\alpha$ est un entier naturel. Les fonctions usuelles cours d. Dans ce cas, le domaine de définition est $\mathbb R$. Dérivée: $\alpha x^{\alpha-1}$; Sens de variation: croissante si $\alpha>0$, décroissante si $\alpha<0$, constante si $\alpha=0$. Limites aux bornes: si $\alpha>0$, alors $\lim_{x\to 0}x^\alpha=0$ et $\lim_{x\to+\infty}x^\alpha=+\infty$; si $\alpha<0$, alors $\lim_{x\to 0}x^\alpha=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}x^\alpha=0$; Propriétés algébriques: pour tous $\alpha, \beta\in\mathbb R$, pour tout $x>0$, on a $$(xy)^\alpha=x^\alpha y^\alpha, \ x^{\alpha+\beta}=x^\alpha x^\beta, \ (x^\alpha)^\beta=x^{\alpha\beta}.

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