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Sun, 30 Jun 2024 02:42:01 +0000
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Bonjour, je voudrais savoir si mon raisonnement est juste sur cet exercice: Je dois étudier la nature de l'intégrale de 2 à +infini de 1/((x^a)*(lnx)^b) En remarquant que f(x)= 1/((x^a)*(lnx)^b) est décroissante et positive et en utilisant le théorème qui dit que: Si f est positive et décroissante de 2 à l'infini et si la série f(n) converge alors l'intégrale converge. Or, la série de terme général f(n) est une série de Bertrand et une série de Bertrand converge ssi a est plus grand que 1 ou a=1 et b plus grand que 1 donc l'intégrale converge à ces conditions là. Merci d'avance pour vos commentaires.

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On a np Puis en utilisant le développement limité au voisinage de 0: tan u = u + o(u), on obtient et la série de terme général u n diverge, par comparaison à la série harmonique. Exercice 4. 23 Centrale PC 2007, Saint-Cyr PSI 2005, CCP PC 2005 Pour tout entier naturel n, on pose u n = p/4 0 tan n t dt. 1) Trouver une relation de récurrence entre u n et u n+2. 2) Trouver un équivalent de u n lorsque n tend vers l'infini. 3) Donner la nature de la série de terme général ( − 1) n u n. 4) Discuter, suivant a ∈ R, la nature de la série de terme général u n /n a. 78 Chap. Séries numériques 1) On a u n + u n+2 = (tan n+2 t + tan n t)dt = tan n t(1 + tan 2 t)dt. Puisque t → 1 + tan 2 t est la dérivée de t → tan t, on en déduit que u n + u n+2 = tan n+1 t n + 1 = 1 n + 1. 2) Pour x ∈ [ 0, p/4], on a 0 tan t 1, et donc 0 tan n+1 t tan n t. Intégrale de bertrand la. Alors, si n 0, on obtient en intégrant, 0 u n+1 u n, et la suite (u n) est décroissante positive. On en déduit que 2u n+2 u n+2 + u n = 1 n + 1 2u n. Donc, pour n 2, on a l'encadrement 1 2(n+ 1) u n 1 2(n − 1), d'où n n + 1 2nu n n n− 1 Le théorème d'encadrement montre alors que 2nu n tend vers 1 c'est-à-dire que u n ∼ 2n.

On définit alors une application de la manière suivante. Pour tout la restriction de à l'intervalle est définie par les conditions: Faire une figure, puis montrer que l'intégrale impropre converge mais que n'admet pas de limite en Cet exemple est à comparer avec celui donné dans cet article. On pose, pour tout: Montrer que et sont convexes. Intégrales de Bertrand - [email protected]. Pour la convergence de l'intégrale (doublement impropre qui définit, voir par exemple ici). Soit logarithmiquement convexe (ce qui signifie que est convexe) et telle que: Montrer que (même notation qu'à l'exercice précédent). Cliquer ici pour accéder aux indications Cliquer ici pour accéder aux solutions