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Les ensembles exercices corrigés 1 bac sm. (1ère année bac sm) Exercice 1 On considère les deux ensembles: A = { 5+4k/10 / k ∈ ℤ} et B = { 5+8k′/20 / k′ ∈ ℤ} Montrer que: A ∩ B = ∅. Exercice 2 Soient les ensembles suivants: A = { π/4 + 2kπ/5 / k ∈ ℤ}, B = { 9π/4 − 2kπ/5 / k ∈ ℤ} et C = { π/2 + 2kπ/5 / k ∈ ℤ} Montrer que: A = B. Montrer que: A ∩ C = ∅. Exercice 3 Déterminer en extension les ensembles suivants: A = {( x, y) ∈ ℤ 2 / x 2 + xy − 2y 2 + 5 = 0}, B = { x ∈ ℤ / x 2 −x+2/2x+1 ∈ ℤ} et C = { x ∈ ℤ / ∣∣ 3x ∣− 4/2 ∣ < 1} Exercice 4 On considère l'ensemble suivant: E = { √x+√x − √x / x ∈ ℝ + *}. Montrer que: E ⊂] 0, 1]. Résoudre dans ℝ l'équation suivante: √x+√x = 1/2 + √x. A-t-on] 0, 1] ⊂ E? Exercice 5 On considère les ensembles: E = { 2k − 1 / k ∈ ℤ}, F = { 2k − 1/5 / k ∈ ℤ} et G = { 4−√x/4+√x / x ∈ [ 0, +∞ [} Montrer que: 8 ∉ F. Montrer que: E ⊂ F. Montrer que: F ⊈ E. Exercice + corrigé math : les ensembles - Math S1 sur DZuniv. Montrer que: G =] −1, 1]. Exercice 6 Soient A, B et C trois parties de E. Montrer que: A ∩ B ⊂ A ∩ C et A ∪ B ⊂ A ∪ C ⇒ B ⊂ C.

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On déduit que. pour tout, il existe tel que et, d'où exercice 13 Supposons qu'il existe une application injective. Soit, l'équation d'inconnu admet: Soit une solution unique qu'on note Soit pas de solution, alors on choisit un élément quelconque de, qu'on note tel que définie ainsi est une application de dans puisque tout élément de possède une unique image dans. Elle est surjective puisque tout élément de est l'image par d'au moins un élément de qui est son image par Supposons qu'il existe une application surjective. Soit, l'équation possède au moins une solution. Exercices corrigés sur les ensembles lingerie. Posons une de ces solutions. On pose, définie ainsi est une application de dans puisque tout élément de possède une unique imqge dans.

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On cherche les éléments de tels que. On doit donc résoudre l'équation. Elle se factorise en. On en déduit: La classe d'équivalence de est constituée de deux éléments sauf si. exercice 8 Reflexivité: Pour tout on a: car. Antisymétrie: pour tels que et. Alors par définition de on a:. Et comme la relation est une relation d'ordre, alors:. Donc;. Ce qui implique que (dans ce cas en fait est un singleton). Transitivité: soit tels que et. Si ou, alors il est clair que. Supposons que et alors:. Alors par transitivité de la relation, on obtient: Donc. Conclusion: exercice 9 1) Soient. dès que ou est injective. 2) Contre exemple: Soit un ensemble contenant éléments et considérant et évidemment surjectives. On aura alors. On a:, mais il n'existe pas d'élément de qui vérifie Donc n'est pas nécessairement surjective. Exercices corrigés sur les ensemble scolaire. exercice 10 Si est injective: comme:;, donc est bijective. Si est surjective: pour tout, il existe tel que et. Donc; donc est bijective. exercice 11 Supposons que sont bijectives. Soient Et puisque est injective, alors Or, est aussi injective, donc On en tire que De la même manière, on obtient Soit Puisque est surjective: Ce qui veut dire que De la même manière, on obtient Conclusion: Commençons par l'application Soit, puisque est surjective: Posons On a: L'application Soit, on note Puisque est surjective Il s'ensuit que Or, puisque est injective: L'application Soit On pose, donc Alors: Et puisque est injective: et exercice 12 Comme,.

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Donc On a Or, Donc, il s'ensuit que Ce qui veut dire que tout élément de admet un antécédant dans par l'application Donc On en déduit que: 3) Soit surjective et soit Montrons que Soit Or, donc Et donc Puisque est surjective, il existe dans tel que et Donc, on en tire que On en déduit: Montrons que est surjective. Soit et posons On sait que: 4) Soit injective et soit On a donc, il existe alors Et puisque est injective, et donc Donc Soit existe et on a Il s'ensuit et donc On en déduit: Montrons que est injective. On a, donc Puisque; alors exercice 15 1) on a Soient et deux éléments de tels que Il s'ensuit directement que Et puisque est bijective, elle est injective. Exercices de théorie des ensembles en prépa - Progresser-en-maths. On en déduit que On conclut que Soit Puisque est bijective; elle est surjective. Il existe donc appartenant à tel que: Donc, en sachant que et en posant On a donc montré qu'il existe tel que On en déduit que Conclusion 2) Puisque est bijective, existe et est bijective. Or, puisque est bijective, l'est aussi, et il s'ensuit que l'application est à son tour bijective.

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Montrer que si est injective ou surjective, alors. Soient et deux ensembles. Montrer qu'il existe une application injective de dans si et seulement s'il existe une application surjective de dans Soient et deux ensembles et une application. Montrer les équivalences suivantes: Soient et deux ensembles et soient et deux applications telles que soit bijective. 1) Montrer que est bijective. 2) En déduire que est bijective. Soient deux ensembles, et deux applications telles que: est surjective et est injective. Exercices sur les ensembles de nombres. Montrer que et sont bijectives. Soit un ensemble. Montrer qu'il n'existe pas de surjection de sur l'ensemble de ses parties. Soient deux ensembles et une application. 1) Montrer que est injective si et seulement si, pour tout et tout, on a. 2) Montrer que est surjective si et seulement si, pour tout et tout, on a. 3) Supposons. Déterminer l'application réciproque Soient trois ensembles et soit une famille d'éléments de. exercice 1 1) 2) Idem 1) 3) 4) 5) Et: 6) 7) Évident Soit Soit, alors Si: Alors et donc Et puisque, alors Il s'ensuit que et donc Si: Alors Or,, donc, on en tire que et donc On en déduit De la même manière, en inversant et, on obtient Donc Conclusion: exercice 2 Directement: Soit On a, donc, il s'ensuit De la même manière, en inversant et, on obtient On en déduit: Conclusion: exercice 3 1) L'application Injectivité: Soient et deux entiers naturels tels que est injective Surjectivité: n'est pas surjective car il n'existe pas d'antécédant pour les entiers naturels impairs.