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\] Exemple On considère, pour $n\in \N^*$, la suite ${\left({I_n} \right)}_n$ définie par ${I_n}=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\sin^n(x)\;\mathrm{d}x}$. Sans calculer cette intégrale, montrer que la suite ${\left({I_n} \right)}_n$ vérifie pour $n\in \N^*$, $0\le {I_n}\le \dfrac{\pi}{2}$ et qu'elle est décroissante. Voir la solution Pour tout $n\in \N^*$ et tout $x\in \left[0, \dfrac{\pi}{2} \right]$, on a $0\le {\sin^n}(x)\le 1$. En intégrant cette inégalité entre $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$, il vient:\[\int_0^{\pi/2}{0}\;\mathrm{d}t\le \int_0^{\pi/2}{\sin^n(x)}\;\mathrm{d}t\le \int_0^{\pi/2}{1}\;\mathrm{d}t\]c'est-à-dire:\[0\le I_n\le \frac{\pi}{2}. \]Par ailleurs, pour tout $x\in \left[0, \dfrac{\pi}{2} \right]$, on a $0\le \sin(x)\le 1$. Croissance de l intégrale b. Donc:\[\forall n\in \N^*, \;0\le {\sin^{n+1}}(x)\le {\sin^n}(x). \]En intégrant cette nouvelle inégalité entre $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$, il vient:\[\int_0^{\pi/2}{0}\;\mathrm{d}t\le \int_0^{\pi/2}{\sin^{n+1}(x)}\;\mathrm{d}t\le \int_0^{\pi/2}{\sin^n(x)}\;\mathrm{d}t\]Ceci prouve que ${I_{n+1}}\le {I_n}$, c'est-à-dire que la suite ${\left({I_n} \right)}_n$ est décroissante.

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Introduction Il existe plusieurs procédés pour définir l'intégrale d'une fonction réelle f continue sur un segment [ a, b] de R. Si la fonction est positive, cette intégrale, notée ∫ a b f ( t) d t, représente l'aire du domaine délimité au dessus de l'axe des abscisses et en dessous de la courbe, entre les deux axes verticaux d'équation x = a et x = b dans le plan muni d'un repère orthonormé. Dans le cas général, l'intégrale mesure l' aire algébrique du domaine délimité par la courbe et l'axe des abscisses, c'est-à-dire que les composantes situées sous l'axe des abscisses sont comptées négativement. Par convention, on note aussi ∫ b a f ( t) d t = − ∫ a b f ( t) d t. Propriétés de l’intégrale | eMaths – Plateforme de cours. L' intégrale de Riemann traduit analytiquement cette définition géométrique, qui aboutit aux propriétés fondamentales suivantes. Cohérence avec les aires de rectangles Pour toute fonction constante de valeur c ∈ R sur un intervalle I de R, pour tout ( a, b) ∈ I 2, on a ∫ a b c d t = c × ( b − a). Positivité Soit f une fonction continue et positive sur un segment [ a, b].

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En particulier, si une fonction positive n'est pas intégrable sur un intervalle, toute fonction qui lui est supérieure ne sera pas non plus intégrable. Cette propriété peut aussi s'élargir sous la forme suivante. Propriété Toute fonction continue encadrée par des fonctions intégrables sur un intervalle I est aussi intégrable sur I et l'encadrement passe à l'intégrale. Croissance de l intégrale wine. Démonstration Soient f, g et h trois fonctions continues sur un intervalle I non dégénéré. Supposons que les fonctions f et h soient intégrables sur I et que pour tout x ∈ I on ait f ( x) ≤ g ( x) ≤ h ( x). Alors on trouve 0 ≤ g − f ≤ h − f et la fonction h − f est intégrable sur I donc on obtient que la fonction h − f est aussi intégrable sur I, et la fonction f = h − ( h − f) est intégrable sur I. Intégrale de Gauss On peut démontrer la convergence de l'intégrale suivante: ∫ −∞ +∞ exp ( ( − x 2) / ( 2)) d x = √ ( 2π). Démonstration L'encadrement 0 ≤ exp ( − x 2 / 2) ≤ 2 / x 2 pour tout x ∈ R * démontre la convergence de l'intégrale.

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Le calcul explicite de la valeur demande un peu plus de travail. Théorème de négligeabilité Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle telles que f soit négligeable par rapport à g en une borne a de cet intervalle avec g positive au voisinage de a et intégrable en a. Stricte croissance de l'intégrale? [1 réponse] : ✎✎ Lycée - 25983 - Forum de Mathématiques: Maths-Forum. Alors la fonction f est aussi intégrable en a. Démonstration On obtient l'encadrement − g ≤ f ≤ g au voisinage de a donc l'extension du théorème de comparaison permet de conclure. Critère des équivalents de fonction Si une fonction f est définie, continue et de signe constant et intégrable en une borne a de cet intervalle alors toute fonction équivalente à f en a est aussi intégrable en a. Réciproquement, toute fonction de signe constant et équivalente en a à une fonction non intégrable en a n'est pas non plus intégrable en a. Démonstration Soit g une fonction équivalente à f en a. Alors la fonction g − f est négligeable par rapport à f en a donc par application du théorème précédent, la fonction g − f est intégrable en a d'où par addition, la fonction g = f + ( g − f) est aussi intégrable en a.

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Valeur moyenne d'une fonction Définition Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. La valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ est le nombre réel:\[m=\frac{1}{b-a}\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}. \] Voir l'animation Théorème Théorème dit de la moyenne Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ il existe un nombre réel $c$ élément de $[a, b]$ tel que:\[f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}\] Voir la preuve On suppose la fonction $f$ croissante. Le résultat sera admis dans le cas général. Croissance de l intégrale tome 1. On distingue deux cas. Si $a \lt b$. Puisque $f$ est croissante, pour tout réel $x$ dans $[a, b]$, $f(a)\le f(x)\le f(b)$. Il s'en suit, d'après l'inégalité de la moyenne, que:\[(b-a)f(a)\le \int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}\le (b-a)f(b). \]Puisque $b−a \gt 0$:\[f(a)\le \frac{1}{b-a}\int_a^b{f(x)}\;\mathrm{d}x\le f(b). \]Le réel $m=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}$ est dans l'intervalle $\bigl[f(a), f(b)\bigr]$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires ($f$ est continue dur $[a, b]$), il existe un réel $c$ dans $[a, b]$ tel que:\[f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b{f(x)}\;\mathrm{d}x\] Si $a \gt b$.

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L'intégrale est donc négative mais une aire se mesure, comme une distance, par une valeur POSITIVE. En l'occurrence, elle est donc égale à la valeur absolue du nombre trouvé. Croissance de l'integrale - Forum mathématiques maths sup analyse - 868635 - 868635. Il est possible qu'une fonction n'admette pas de primitive connue. Sous certaines conditions, une intégrale peut tout de même être approximée par d'autres moyens ( sommes de Davoux... ). Propriétés Elles sont assez intuitives.

Alors on a ∫ a b f ( t) d t ≥ 0. Additivité (relation de Chasles) Soit f continue sur un intervalle I. Pour tout ( a, b, c) ∈ I 3 on a ∫ a b f ( t) d t + ∫ b c f ( t) d t = ∫ a c f ( t) d t. Linéarité Soit I un intervalle réel. Soit λ ∈ R et soient f et g deux fonctions continues sur I. Pour tout ( a, b) ∈ I 2 on a ∫ a b ( λ f ( t) + g ( t)) d t = λ ∫ a b f ( t) d t + ∫ a b g ( t) d t. L'additivité implique qu'une intégrale entre deux bornes identiques est nécessairement nulle: ∫ a a f ( t) d t = 0. Premières propriétés Croissance Soient f et g deux fonctions continues Si on a f ≤ g alors ∫ a b f ( t) d t ≤ ∫ a b g ( t) d t. La différence de deux fonctions continues étant continue, on a ici g − f ≥ 0 donc ∫ a b ( g ( t) − f ( t)) d t ≥ 0 donc par linéarité de l'intégrale on obtient ∫ a b g ( t) d t − ∫ a b f ( t) d t ≥ 0. Stricte positivité Soit f une fonction continue et de signe constant sur un segment [ a, b] avec a < b. Si ∫ a b f ( t) d t = 0 alors la fonction f est constamment nulle sur [ a, b].

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