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Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et: $\begin{align} f'(x) & =1\times e^x+x\times e^x \\ & = e^x(1+x) \end{align}$ Niveau moyen Dériver les fonctions $f$, $g$ et $h$ sur les intervalles indiqués. $f(x)=(3x^2+2x-5)\times(1-2x)$ sur $\mathbb{R}$. Développer puis réduire l'expression obtenue. $g(x)=\frac{x^2}{4}\times (\sqrt{x}+1)$ sur $]0;+\infty[$. On ne demande pas de réduire l'expression obtenue. $h(x)=(1-\frac{2x^3}{7})\times \frac{\ln{x}}{2}$ sur $]0;+\infty[$. Voir la solution On remarque que $f=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$. $u(x)=3x^2+2x-5$ et $u'(x)=6x+2$. $v(x)=1-2x$ et $v'(x)=-2$. f'(x) & =(6x+2)\times (1-2x)+(3x^2+2x-5)\times (-2) \\ & = 6x-12x^2+2-4x-6x^2-4x+10 \\ & = -18x^2-2x+12 \end{align}$ On remarque que $g=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $]0;+\infty[$. Somme d un produit fiche. $u(x)=\frac{x^2}{4}=\frac{1}{4}x^2$ et $u'(x)=\frac{1}{4}\times 2x=\frac{1}{2}x$. $v(x)=\sqrt{x}+1$ et $v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Donc $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et: g'(x) & =\frac{1}{2}x\times (\sqrt{x}+1)+\frac{1}{4}x^2\times \frac{1}{2\sqrt{x}} On remarque que $h=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $]0;+\infty[$.

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Lorsqu'une expression comporte plusieurs opérations, on peut se demander s'il s'agit d'une somme ou d'un produit. C'est une somme car: on commence le calcul par la multiplication, elle est prioritaire: 3 × 4 = 12; on effectue l'addition: 2 + 12 = 14. Règle: pour savoir si une expression est une somme ou un produit, on regarde la dernière opération à effectuer en respectant les règles de priorité: si c'est une addition ou une soustraction, l'expression est une somme; si c'est une multiplication ou une division, l'expression est un produit. Comment estimer des sommes, des différences, des produits et des quotients?. Exemples: • 2 + 3 + 4 × 4 = 2 + 3 + 16 = 5 + 16. Il s'agit d'une addition, donc l'expression 2 + 3 + 4 × 4 est une somme. • 2 × 4 − 25 ÷ 5 = 8 − 5. Il s'agit d'une soustraction, donc l'expression 2 × 4 − 25 ÷ 5 est une somme. • (2 + 3 × 4) ÷ (5 − 2) = (2 + 12) ÷ (3) = 14 ÷ 3. Il s'agit d'une division, donc l'expression (2 + 3 × 4) ÷ (5 − 2) est un produit.

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$ Enoncé Soient $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(B_n)_{n\in\mathbb N}$ deux suites de nombres complexes. On définit deux suites $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ en posant: $$A_n=\sum_{k=0}^n a_k, \quad\quad b_n=B_{n+1}-B_n. $$ Démontrer que $\sum_{k=0}^n a_kB_k=A_n B_n-\sum_{k=0}^{n-1}A_kb_k. $ En déduire la valeur de $\sum_{k=0}^n 2^kk$. Sommes doubles Enoncé Soit $(a_{i, j})_{(i, j)\in\mathbb N^2}$ une suite double de nombres réels. Soit $n$ et $m$ deux entiers naturels. Intervertir les sommes doubles suivantes: $S_1=\sum_{i=0}^n \sum_{j=i}^n a_{i, j}$; $S_2=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{n-i}a_{i, j}$; $S_3=\sum_{i=0}^n \sum_{j=i}^m a_{i, j}$ où on a supposé $n\leq m$. Enoncé Calculer les sommes doubles suivantes: $\sum_{1\leq i, j\leq n}ij$. Encadrer une somme, une différence, un produit, un inverse, un quotient - Maxicours. $\sum_{1\leq i\leq j\leq n}\frac ij$. Enoncé Pour $n\geq 1$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k$ et $u_n=\sum_{k=1}^n S_k$. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n=(n+1)S_n-n$. Enoncé En écrivant que $$\sum_{k=1}^n k2^k=\sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^k 2^k, $$ calculer $\sum_{k=1}^n k2^k$.

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Calculer un produit s'effectue à l'aide d'une multiplication. Le produit de A et de B correspond à l'expression A x B. Le quotient est le résultat d'une division. Le nombre qui est divisé est appelé le dividende. Le nombre qui divise est appelé le diviseur. Le quotient de 20 par 5 est égal à 4. 4 est le quotient, 20 est le dividende et 5 est le diviseur. Calculer un quotient s'effectue à l'aide d'une division. Dériver un produit - Mathématiques.club. Le quotient de A par B correspond à l'expression A: B. Vérifie si ta puissance mathématique a augmenté! Complète ces phrases avec le vocabulaire approprié (somme, différence, produit ou quotient), puis compare ta réponse avec la correction. Exercice: Distinguer somme, différence, produit et quotient. Rejoins l'espace membre pour accéder à la correction, c'est gratuit!

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$$ Enoncé Soient $n, p$ des entiers naturels avec $n\geq p$. Démontrer que $$\sum_{k=p}^n \dbinom{k}{p}=\dbinom{n+1}{p+1}. $$ Enoncé Calculer $(1+i)^{4n}$. En déduire les valeurs de $$\sum_{p=0}^{2n}(-1)^p \dbinom{4n}{2p}\textrm{ et}\sum_{p=0}^{2n-1}(-1)^p \dbinom{4n}{2p+1}. $$ Enoncé Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation $x^2-2y^2=1$ admet une infinité de solutions avec $x, y$ des entiers naturels. Soit $n\geq 1$. Démontrer qu'il existe deux entiers $x_n$ et $y_n$ tels que $(3+2\sqrt 2)^n =x_n+\sqrt 2 y_n. Somme d un produit simplifie. $ Exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$. En déduire que les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont strictement croissantes. Démontrer le résultat annoncé.

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