5 Francs Monaco 1974 / Multiples Et Diviseurs Exercices Corrigés

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$4a3b$ est divisible par $3$ si la somme de ces chiffres est un multiple de $3$. Si $b=2$ alors la somme des chiffres vaut $4+a+3+2=9+a$ $9+a$ est divisible par $3$ que si $a$ prend les valeurs $0$, $3$, $6$ ou $9$ Si $b=6$ alors la somme des chiffres vaut $4+a+3+6=13+a$ $13+a$ est divisible par $3$ que si $a$ prend les valeurs $2$, $5$ ou $8$ Finalement, seuls les nombres $4~032$, $4~332$, $4~632$, $4~932$, $4~236$, $4~536$ et $4~836$ sont divisibles par $12$. Exercice 8 Difficulté + On considère un entier naturel $n$ tel que $n+1$ soit divisible par $4$. Montrer que $n^2+3$ est également divisible $4$. 6ème - Multiples et diviseurs - Les Maths à la maison. Correction Exercice 8 On a $(n+1)^2=n^2+2n+1$ Donc $\begin{align*} n^2+3&=(n+1)^2-2n+2\\ &=(n+1)^2-2(n-1)\end{align*}$ $n+1$ est divisible par $4$. Il existe donc un entier naturel $k$ tel que $n+1=4k$ Par conséquent $n-1=n+1-2=4k-2=2(2k-1)$ Ainsi: $\begin{align*} n^2+3&=(n+1)^2-2(n-1) \\ &=(4k)^2-2\times 2(2k-1) \\ &=16k^2-4(2k-1)\\ &=4\left(4k^2-(2k-1)\right) \end{align*}$ Donc $n^2+3$ est divisible par $4$.