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Pour des systèmes discrets, ou systèmes continus discrétisés, dans lesquels on peut utiliser une variable pour décrire l'état du système à l'étape, la loi d'évolution peut s'écrire sous la forme d'une relation de récurrence. En ce sens, un IFS fournit une loi d'évolution d'un système dynamique avec la suite d'ensembles. Les systèmes dynamiques chaotiques, étudiés et décrits dans ce qui porte le nom mathématique de "théorie du chaos", forment une classe de systèmes dynamiques particuliers caractérisés entre autre par une grande sensiblité aux conditions initiales: deux points de départs très proches peuvent aboutir après un certain nombre d'itération à deux états du système très différents. Certains de ces systèmes permettent de générer des figures fractales en séparant en deux les points du plan: ceux pour lesquels le système dynamique diverge et les autres. Générateur de chaos optoélectronique à double retard pour les télécommunications optiques sécurisées à haut débits - Archive ouverte HAL. Cette méthode permet de générer par exemple les ensembles fractals de Mandelbrot et de Julia. Le jeu du chaos joue d'une certaine façon avec cette structure fractale chaotique: sous les conditions usuelles exposées (fonctions contractantes), l'état converge vers un état stable: l'attracteur de l'IFS quelque soit le point de départ.

Ceci contredit le caractère l'aléatoire de la suite. Encore faut-il s'assurer que l'on trouve une suite de deux zéros dans … On démontre donc cette propriété par récurrence. Pour une suite finie à élément, ou, la suite aléatoire infinie contient trivialement ces deux suites finies. Soit une suite finie de deux éléments: par exemple. Supposons que ne contienne pas. Alors, dans à chaque 0 rencontré suit nécessairement un autre 0, sinon, avec un 1, on aurait. Ceci contredit le fait que soit aléatoire. Supposons maintenant que contienne toutes les suites finies de éléments, et considérons une suite de éléments. Alors pour une certaine suite de éléments, par exemple (ou). D'après le corollaire, contient une infinité de fois la suite, et à chaque fois donc, le terme suivant devrait être un 1. Ceci contredit à nouveau l'aléatoire le caractère aléatoire de la suite. Générateur de choix aléatoire. La théorie du chaos est un domaine mathématique qui s'intéresse au comportement de systèmes dynamiques, c'est-à-dire de systèmes munis d'une loi d'évolution (souvent de l'évolution au cours du temps).

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