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Tue, 02 Jul 2024 18:15:42 +0000
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On sait en effet que la stricte positivité des variables x et s assure que l'équation de Newton associée au système d'optimalité est bien définie (la matrice est inversible par la proposition 18. 4). L'expérience à montré que cette stratégie, qui est suivie par l'algorithme affine (« affine scaling algorithm »), ne conduit pas à des algorithmes polynomiaux. La raison provient probablement du fait que, lorsque z est proche du bord de l'ensemble admissible primal-dual, le pas α > 0 le long de d, assurant l'admissibilité des itérés, peut devenir très petit, empêchant tout progrès significatif vers la solution. Une des techniques mises au point pour obtenir la polynomialité consiste à forcer les itérés de rester proche du chemin central, d'une part, et à être moins gourmand, d'autre part, en ne cherchant pas à résoudre le système non linéaire (18. Les algorithms pour les nuls pdf video. 1) directement. Il est difficile de renoncer à la direction de Newton, dont on connaît les qualités, si bien que le fait de faire des déplacements le long de telles directions est conservé dans les algorithmes de points intérieurs considérés dans ce chapitre.

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En effet, à chaque itération, on a x > 0 et s > 0, ce qui n'est jamais le cas en une solution de (P) (voir la troisième condition dans (18. 1)). On ne peut donc estimer que le nombre d'opérations pour trouver une solution à ε > 0 près. La proximité de la solution se mesurera ici par la petitesse du saut de dualité µ¯(z). En réalité, il existe des procédures, dites de purification (section?? DeepStory, quand les algorithmes font parler vos photos ! - MAGAZINEVIDEO. ), permettant de déterminer une solution exacte strictement complémentaire par quelques opérations d'algèbre linéaire à partir d'un itéré généré par un algorithme de points intérieurs, suffisamment proche de la face optimale. On ne s'intéressera ici qu'à la complexité itérative des algorithmes. On veut dire par là que l'on cherche à estimer le nombre d'itérations nécessaires pour obtenir une solution à ε > 0 près, dans le pire des cas. Les résultats que nous donnerons sur cette question feront usage du lemme suivant. On note {zk} la suite des itérés générés par l'algorithme considéré et µ¯k = ¯µ(zk).

La solution que l'on recherche par ces algorithmes, le centre analytique de la face optimale situé au bout de chemin central, est un point singulier parce que la jacobienne du système de Newton n'y est en général pas inversible. On ne peut donc pas appliquer directement les techniques de suivi de chemin que l'on utilise dans les méthodes d'homotopie par exemple. Celles mises en œuvre pour suivre le chemin central dans les méthodes de points intérieurs sont originales. Elles dépendent des algorithmes, mais elles relèvent presque toujours d'un principe que l'on peut voir comme la poursuite d'un objectif fuyant, ce que l'on a schématisé à la figure 18. 1: en l'itéré zk ∈ Fs de l'itération k, on se fixe pour objectif un point z(µk) sur le chemin central C, mais après avoir fait un pas de Newton dans sa direction (parfois plusieurs pas) conduisant à zk+1, on change d'objectif en visant un autre point z(µk+1) sur le chemin central, plus près de la solution (µk+1 < µk). Les algorithms pour les nuls pdf pour. On se rapproche ainsi petit à petit de la solution cherchée, laquelle est en quelque sorte inaccessible directement.

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