Brevet Maths Nouvelle Calédonie 2013
Bac S Nouvelle Calédonie 2013 On note E l'ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre 0 et 26. On note A l'ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l'alphabet et un séparateur entre deux mots, noté «*» considéré comme un caractère. Pour coder les éléments de A, on procède de la façon suivante: Premièrement: On associe à chacune des lettres de l'alphabet, rangées par ordre alphabétique, un nombre entier naturel compris entre 0 et 25, rangés par ordre croissant. On a donc a → 0, b → 1,... z → 25. Brevet maths nouvelle calédonie 2013 1. On associe au séparateur «*» le nombre 26. a b c d e f g h i j k l m n o 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 p q r s t u v w x y z * 15 13 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 On dit que a a pour rang 0, b a pour rang 1,..., z a pour rang 25 et le séparateur «*» a pour rang 26. Deuxièmement: à chaque élément x de E, l'application g associe le reste de la division euclidienne de 4 x +3 par 27. On remarquera que pour tout x de E, g ( x) appartient à E. Troisièmement: Le caractère initial est alors remplacé par le caractère de rang g ( x).
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$\Delta = (-4)^2-4\times 8 = -16 < 0$. Cette équation possède donc $2$ solutions complexes: $\dfrac{4-4\text{i}}{2} = 2 – 2\text{i}$ et $2 + 2\text{i}$. Les solutions de (E) sont donc les nombres $4$, $2 – 2\text{i}$ et $2 + 2\text{i}$. On appelle $A$, $B$ et $C$ les points dont ces nombres sont les affixes. $B$ et $C$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses et $A$ est sur c et axe. Brevet maths nouvelle calédonie 2013 2. Par conséquent $ABC$ est isocèle en $A$. Le milieu de $[BC]$ a pour affixe $2$ et $BC = |z_C – z_B| = |4\text{i}| = 4$. L'aire du triangle $ABC$ est donc $\dfrac{4\times(4-2)}{2} = 4$. $1 + \text{e}^{2\text{i}\alpha} = 1 + \cos(2\alpha) + \text{i} \sin(2\alpha) = 1 + 3\cos^2(\alpha) – 1 + 2\text{i}\sin(\alpha)\cos(\alpha)$ $1 + \text{e}^{2\text{i}\alpha} =2\cos^2(\alpha)+2\text{i}\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2\cos(\alpha)\left( \cos(\alpha) + \text{i}\sin(\alpha) \right) = 2\text{e}^{\text{i}\alpha}\cos(\alpha)$. affixe de $\vec{OA}: a = \dfrac{1}{2}(1+i)$ affixe de $\vec{OM_n}: m_n = \left(\dfrac{1}{2}(1+i) \right)^n$.
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Exemple: s → 18, g (18)=21 et 21 → v. Donc la lettre s est remplacée lors du codage par la lettre v. Trouver tous les entiers x de E tels que g ( x)= x c'est-à-dire invariants par g. En déduire les caractères invariants dans ce codage Démontrer que, pour tout entier naturel x appartenant à E et tout entier naturel y appartenant à E, si y ≡ 4 x +3 modulo 27 alors x ≡ 7 y +6 modulo 27. En déduire que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts. Résultats du BREVET 2021 Nouvelle Calédonie - Le Parisien Etudiant. Proposer une méthode de décodage. Décoder le mot « vfv » Corrigé g ( x)= x si et seulement si 0 ≤ x ≤ 26 et: 4 x +3 ≡ x (mod. 27) Cette congruence est vérifiée si et seulement si il existe un entier relatif k tel que: 4 x +3 = x +27 k 3 x = 27 k −3 x = 9 k −1Pour k ≤0, les valeurs de x obtenues sont strictement négatives et pour k > 3 elles sont strictement supérieures à 26. On obtient donc trois solutions comprises entre 0 et 26: x =8 (pour k =1) x =17 (pour k =2) x =26 (pour k 31) Par conséquent, les caractères invariants dans ce codage sont: i, r, *.
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On sait que $0 \le x \le 26$ et $0 \le z \le 26$. Si $g(x) = g(z) = y$ alors $x \equiv 7y +6 [27]$ et $z \equiv 7y+6$ et par conséquent $x \equiv z [27]$. Ce qui est impossible puisque les caractères étaient distincts. Donc $2$ caractères distincts sont codés par $2$ caractères distincts. Pour décoder un caractère $y$ il suffit de calculer $7y+6$ modulo $27$. Brevet maths nouvelle calédonie 2013 2019. $v$ est codé par $21$ et $f$ est codé par $5$. $7 \times 21 + 6 = 153 \equiv 18 [27]$: caratère $s$ $7 \times 5 + 6 = 41 \equiv 14 [27]$: caractère $o$ Par conséquent $vfv$ est décodé en $sos$.