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Le plan complexe Opérations sur les nombres complexes Opérations numériques et algébriques Opérations géométriques Conjugué d'un nombre complexe Inverse et quotient de nombres complexes Module et argument d'un nombre complexe Forme trigonométrique d'un nombre complexe Equations du second degré Trois exercices complets pour finir Propriété Soit un nombre réel. Les solutions de l'équation sont appelées racines carrées de dans, avec Cette propriété nous donne les racines carrés de tous les nombres réels. Racines complexes d'un trinôme. En particulier, même lorsque le disciminant d'une équation du second est négatif, on peut maintenant dans lui trouver des racines carrés et donc résoudre cette équation. Propriété: Équation du second degré L'équation, où, et sont trois réels, de discriminant admet: si, une solution réelle double si, deux solutions réelles distinctes si, deux solutions complexes conjuguées: Dans tous les cas, le trinôme du second degré se factorise selon (avec éventuellement). Exercice 18 Résoudre dans les équations suivantes: On calcule le discriminant Cette équation admet donc deux solutions complexes conjuguées et son conjuqué et cette équation admet deux solutions réelles: et (à grand renfort algébrique d' identités remarquables) et cette équation admet donc deux solutions réelles Exercice 19 Résoudre dans l'équation:.

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Utilisons la forme trigonométrique.

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Les deux courbes sont donc de part et d'autre d'un sommet commun. Par suite, en comptant les intersections complexes de cette courbe avec ( Oxy) et les intersections réelles de la courbe réelle, on trouvera bien les deux racines de P 2, dans tous les cas. Exemple [ modifier | modifier le code] Dans ( Oxyh), on peut dessiner ces deux courbes par exemple pour (en gras ci-dessous, où on trouve en biais ( Oy) l'axe portant la valeur imaginaire y de z = x + i y). Cette animation illustre également la continuité qui existe entre les valeurs des racines et les coefficients du polynôme, que ces racines soient réelles ou complexes et même lorsque l'on se place à l'endroit du passage entre réel et complexe. Equation du second degré complexe. On peut aussi comprendre que les racines des polynômes soient conjuguées, on retrouve également que la somme de ces racines soit un élément caractéristique du polynôme (lié au sommet de la parabole). Ces intersections complexes partagent un certain lien de parenté avec l' axe radical entre deux cercles quelle que soit la position relative des deux cercles (cf.

\) Exemple Examinons sans plus attendre un exemple, tiré de l'épreuve du bac STI (GE, GET, GO) de décembre 2004, Nouvelle-Calédonie (pour des équations avec la forme algébrique, voir les équations de degré 2 dans \(\mathbb{C}\)). Dans l'ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, résoudre l'équation d'inconnue \(z\): \(2z^2 + 10z + 25\) \(= 0. Racines complexes conjugues les. \) Écrire les solutions de cette équation sous la forme \(re^{i\theta}, \) où \(r\) est un nombre réel positif et \(\theta\) un nombre réel. La première partie de la question réclame une simple application des formules. Le discriminant est égal à \(10^2 - (4 \times 2 \times 25) = -100\) \({z_1} = \frac{{ - 10 + 10i}}{{2 \times 2}}\) \(= - \frac{5}{2} + \frac{5}{2}i\) \({z_2} = \frac{{ - 10 - 10i}}{{2 \times 2}}\) \(= - \frac{5}{2} - \frac{5}{2}i\) La deuxième partie de la question aurait davantage sa place en page de forme polaire des complexes mais traitons-la pour le plaisir. Calculons le module de \(z_1\) selon une procédure bien rôdée: \(|z_1|\) \(=\) \(\left| { - \frac{5}{2} + \frac{5}{2}i} \right|\) \(=\) \(\frac{5}{2}\left| {i - 1} \right|\) \(=\) \(\frac{5}{2}\sqrt {\left| { - 1 - {1^2}} \right|}\) \(=\) \(\frac{{5\sqrt 2}}{2}\) Quel peut bien être l'argument?