Exercices Corrigés -Extrema Des Fonctions De Plusieurs Variables - Maison A Vendre Voeuil Et Gigot D'agneau
Application ouverte Enoncé Soit $\Omega$ un ouvert connexe de $\mathbb C$, $f$ une fonction holomorphe dans $\Omega$. On suppose que $|f|$ est constant dans $\Omega$. Que dire de $f$? On suppose que $f$ est à valeurs réelles. Que dire de $f$? Enoncé Déterminer tous les réels $x$ vérifiant $1+x^2\leq 10x$. Soit $u$ une fonction holomorphe définie sur un ouvert connexe (ou étoilé) $\mathcal U$. Démontrer que si $\exp\circ u$ est constante, alors $u$ est constante. Déterminer toutes les fonctions entières $f$ vérifiant, pour tout $z\in\mathbb C$, $$\frac{1+|e^{2f(z)}|}{|e^{f(z)}|}\leq 10. $$ Principe du maximum Enoncé Soit $f$ une fonction holomorphe sur un ouvert contenant le disque fermé $\overline D(0, 1)$. Maximum et minimum d une fonction exercices corrigés pdf gratuit. On suppose que $$|1-f(z)|\leq |e^{z-1}|$$ quand $|z|=1$. Démontrer que $\frac 12\leq |f(0)|\leq \frac 32$. Enoncé Soit $f$ une fonction holomorphe dans $D(0, R)$, le disque de centre 0 et de rayon $R$. Pour $0\leq r\leq R$, on pose $$M_f(r)=\max_{|z|=r}|f(z)|. $$ Montrer que $r\mapsto M_f(r)$ est une fonction croissante.
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\end{array}\right. $$ On note $\bar x$ et $\bar y$ les valeurs moyennes respectives de $(x_i)_{i=1, \dots, n}$ et $(y_i)_{i=1, \dots, n}$. Démontrer que si $\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)^2\neq 0$, alors il existe au plus une droite des moindres carrés, avec $$m=\frac{\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)(y_k-\bar y)}{\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)^2}. $$ On veut désormais prouver l'existence d'une droite des moindres carrés, toujours sous la condition $\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)^2\neq 0$. Pourquoi suffit-il de prouver que $\lim_{\|(m, p)\|\to+\infty}F(m, p)=+\infty$? $$F(m, p)=\sum_{i=1}^n u_i^2(m, p)+v(m, p)+c, $$ où $u_1, \dots, u_n, v$ sont des formes linéaires sur $\mathbb R^2$ et $c\in\mathbb R$. Maximum et minimum d une fonction exercices corrigés pdf de. Démontrer que le rang de $(u_1, \dots, u_n)$ est 2. On suppose que $(u_1, u_2)$ sont indépendantes. Justifier que l'on peut écrire $$F(m, p)=u_1^2(m, p)+au_1(m, p)+u_2^2(m, p)+bu_2(m, p)+c+R(m, p), $$ où $a, b, c\in\mathbb R$ et $R(m, p)\geq 0$. Justifier que $\|(m, p)\|\to+\infty\implies |u_1(m, p)|+|u_2(m, p)|\to+\infty$.
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