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Dominique Baroux, Rémy Coste, Sébastien Dassule-Debertonne Résumé de l'article Dans cet article, les auteurs montrent que les machines ne fonctionnent pas toujours dans leurs calculs comme on voudrait qu'elles le fassent et qu'il est important de confronter les élèves à ces problèmes, qu'ils en connaissent la cause et qu'ils essayent de les analyser. Il reprend trois articles déjà parus dans la revue de la régionale Ile de France, les "Chantiers de pédagogie mathématique": Un exercice banal de Sébastien Dassule-Debertonne, Comment un exercice peut en cacher un autre de Dominique Baroux et Vous avez dit bizarre... comme c'est bizarre... de Rémy Coste. Plan de l'article Introduction 1. Une activité en classe de seconde 2. Quand un exercice banal vous emmène plus loin que prévu 3. Comment un exercice peut en cacher un autre Télécharger l'article en pdf dans son intégralité Acheter le bulletin contenant cet article (boutique en ligne)
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Je propose donc de créer dans notre publication, une rubrique « Vous avez dit bizarre… Comme c'est bizarre… ». L'objet est de montrer des exemples de ces "bizarreries" produites par les machines, si possible d'en expliquer la raison, et si cela s'y prête, en faire une activité pour les élèves, de tous niveaux. Je vais alimenter cette rubrique tant que je pourrai (avec l'âge, j'en ai accumulées un certain nombre assez variées, beaucoup d'ailleurs proviennent de collègues intrigués ou perspicaces). Mais bien entendu, toute contribution sera très appréciée. Je commence donc (doucement), avec une activité en seconde (les phases 1 et 2 peuvent être faites en 3 e). Objectif: Découvrir les nombres utilisés par la calculatrice. Phase 1: Un chiffre peut en cacher un autre… Taper $\sqrt{2}$, entrer. On compte 10 chiffres utilisés pour la réponse affichée. Le dernier chiffre affiché (le 9 e chiffre après la virgule) est 2. Taper $2\sqrt{2}$, entrer. Le dernier chiffre est 5. Bizarre… $2 \times 2 = 4 \neq 5 $ Manifestement, la calculatrice ne nous montre pas tout.
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» Cela nous indique d'emblée de quel type de source il s'agit, depuis quand elle existe etc. De plus, le site recense plusieurs portails et autres ressources numériques textuelles: dictionnaire du moyen français, divers outils, en ligne ou à télécharger. Ainsi, comme beaucoup de gens, le CNRS doit penser que fiabilité et esthétique attractive sont incompatibles. Bizarre vient du mot « bigearre », datant de 1544, qui signifie « extravagance, singularité ». Le mot bigearre prend ensuite le sens de « diversement coloré ». Ainsi, le mot bizarre a trait avec le bruit visuel, la disharmonie donc. Et cela nous éclaire un peu plus sur les raisons du scepticisme envers Cosmè Tura. Il est vrai que ses tableaux sont loin de la « grazzia » de Raphaël ou de la divina maniera de Léonard De Vinci. Et il est vrai aussi que la Renaissance est considérée comme la période de l'ultime grâce et de la beauté classique antiquisante (cf. Introduction). Cependant, à trop vouloir ignorer des singularités, des électrons libres afin de constituer un style épuré, ce n'est pas faire de l'histoire de l'art.
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Pour connaître les chiffres cachés: Taper $\sqrt{2}$, entrer. Puis taper l'instruction: partDéc(Rép) ×10, entrer (syntaxe TI82). L'affichage dévoile le 10 e chiffre après la virgule. Expliquer aux élèves ce que fait cette instruction est une très bonne occasion d'introduire la notion de variable dans un algorithme. Appuyer alors plusieurs fois sur entrer pour dévoiler les chiffres qui suivent, jusqu'à ce que… On peut alors expliquer la bizarrerie lors de l'affichage de $=2\sqrt{2}$, mais aussi le nombre de chiffres connus par la calculatrice, et donc ceux utilisés pour faire les calculs et les arrondis. Pour la calculatrice, $\sqrt{2}$ est un nombre décimal s'écrivant avec 14 chiffres, et égal à 1, 4142135623731. Phase 2: Une erreur… grossière! Soit $a = 500(10^{15}+1-10^{15})$. Calculer $a$ sans calculatrice, puis avec. Bizarre… Recommencer avec $b = 500(10^{12}+1-10^{12}$ Ça va mieux! En écrivant à la main les nombres obtenus à chaque étape du calcul (une seule opération à la fois), et en faisant de même à la calculatrice, pour $a$ puis pour $b$, on obtient: 1000000000000000 1000000000000001 1 500 1000000000000 1000000000001 On comprend alors pourquoi $a$ est mal évalué, et $b$ l'est correctement.
(Titre: réplique de Louis Jouvet, dans Drôle de Drame. ) Nous nous sommes dit qu'il était important de commencer par s'interroger sur la notion d'étrange, de bizarre qu'on attribue à Cosmè Tura, et qui, je vous le rappelle, sera notre fil directeur dans ce blog. Afin de cerner le sujet, cherchons d'abord à définir ces mots: étrange et bizarre, et voir s'ils sont synonymes. Encyclopédie Universalis Voici l'apparence de l'Encyclopédie Universalis, au mot "bizarre". Dans leur historique, il est dit « Encyclopædia Universalis, maison d'édition indépendante de taille moyenne, développe son activité depuis la fin des années 1960 à partir de son produit principal, l'encyclopédie du même nom. D'entrée, cette dernière a été conçue pour être – ce qu'elle est de très loin – la plus importante encyclopédie généraliste de langue française (plus de 7 000 auteurs), et l'une des plus importantes du monde, équivalente à la célèbre encyclopédie américaine Encyclopaedia Britannica. » Nous entendons tout de suite: vantardise et compétition.
Pour comprendre pourquoi la suite diverge, étudions la suite où est l'erreur induite par la représentation de 0, 3 par le tableur. Il s'agit d'une suite arithmético-géométrique, objet d'exercices en lycée. Posons. On démontre que est une suite géométrique de 1 er terme et de raison. On en déduit:, d'où. Selon le signe de, la limite de est ou. Les valeurs obtenues sur tableur montrent que c'est, c'est-à-dire que. Enfin,. Or nous savons que les calculs sur tableur se font avec une erreur relative de. C'est ce que l'on observe avec le tableur. Les chantiers de pédagogie mathématique n°160 mars 2014 La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS