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NB: les étoiles constituent le niveau de difficulté. est un exercice facile. est un exercice moyen. est un exercice difficile (généralement appelé "problème ouvert") Exercice 1 (source: ilemaths): 1. On considère une fonction définie sur par:. a. Déterminer la limite de en. b. Déterminer la dérivée de sur. c. Dresser le tableau de variations de. 3. Démontrer que, pour tout entier naturel non nul,. 4. Étude de la suite. a. Montrer que la suite est croissante. b. En déduire qu'elle converge. c. Démontrer que: d. En déduire la limite de la suite. Exercice 2: Soit une fonction dérivable en avec. Montrer que la tangente à au point coupe l'axe des abscisses en un point d'abscisse: Exercice 3: Montrer que tout polynôme de degré impair admet au moins une racine. Rappel: un polynôme admet une racine s'il un réel tel que (la courbe représentative coupe l'axe des abscisses) Exercice 4: Montrer qu'il existe des polynômes de degré pair n'admettant pas de racine. Exercice 5: Soit la suite définie par et par pour tout.

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Accueil Soutien maths - Fonctions Cours maths Terminale S L'objectif de ce module est tout d'abord de faire le point sur la notion de limite d'une fonction; Puis, on verra les définitions de limites finies ou infinies en un point ou en l'infini; les propriétés algébriques et règles calculatoires sont rappelées et les nouveaux outils que sont les théorèmes de comparaison sont introduits. 1/ Limite d'une fonction en l'infini: limite infinie Soit f fonction réelle définie au voisinage de Définition: On dit que f admet comme limite lorsque x tend vers si: pour tout intervalle du type] A; [ il existe un réel a tel que: si x > a alors Autrement dit: « Aussi grand que l'on choisisse A, il existe toujours une valeur de x à partir de laquelle, toutes les images sont plus grandes que A. » Illustration graphique: A partir d'une certaine abscisse, toute la courbe se retrouve dans la partie violette. Notation: De même: On dit que f admet comme limite lorsque x tend vers si: pour tout intervalle du type]; A [ il existe un réel a tel que: si x alors Autrement dit: « Aussi négatif et grand en valeur absolue que l'on choisisse A, il existe toujours une valeur de x à partir de laquelle, toutes les images sont plus petites que A.

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La courbe de f tend donc à « se coller » sur la droite verticale d'équation: x = x0 que l'on qualifie par conséquent d'asymptote. On dit alors que la courbe de f admet une asymptote verticale d'équation: x = x0 Cette situation se produit souvent quand f n'est pas définie en x0 Remarque: Pour une limite en un nombre fini, on parle également de limite à droite et limite à gauche. Encore appelées: limite par valeurs inférieures et valeurs supérieures. par exemple: f admet comme limite à droite en x0 Ou encore f admet comme limite par valeurs supérieures en x0 si et seulement si: aussi grand que l'on choisisse A, si x est assez proche de x0 tout en lui restant supérieur alors son image est plus grande que A. Exemple de référence et notation On a en général besoin d'étudier la limite des deux côtés de x0 quand f n'est pas définie en x0, ou quand la définition de f n'est pas la même des deux côtés de x0 6/ Limite d'une fonction en un nombre fini: limite finie Le cas de la limite finie d'une fonction en un nombre fini déjà vu en Première S fait l'objet d'une étude plus approfondie en Terminale S.

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La fonction représentée ci-dessous est négative sur l'intervalle \left[0; 2\right]. 2 Résolutions d'équations et inéquations Résolution graphique d'une équation de la forme f\left(x\right)=k Soit f une fonction continue sur I, C_f sa courbe représentative dans un repère, et k un réel fixé. Les solutions de l'équation f\left(x\right)=k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe C_f avec la droite "horizontale" d'équation y=k. Les solutions de l'équation f\left(x\right)=k sont les réels x_1, x_2, x_3 et x_4. Résolution graphique d'une inéquation de la forme f\left(x\right)\geq k Soit f une fonction continue sur I, C_f sa courbe représentative dans un repère, et k un réel fixé. Les solutions de l'inéquation f\left(x\right)\geq k sont les abscisses des points de la courbe C_f situés au-dessus de la droite "horizontale" d'équation y=k. Les solutions de l'inéquation f\left(x\right)\geq k sont les réels appartenant à \left[x_1;x_2\right]\cup\left[x_3;x_4\right].

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On transforme l'expression: \forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = \dfrac{x}{e^x} - \dfrac{1}{e^x} \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x} =0^+ (croissances comparées) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{e^x} =0^+ On en déduit, par somme: \lim\limits_{x \to +\infty} f\left(x\right) = 0 On calcule la dérivée de f et on simplifie l'expression. La fonction est dérivable sur \mathbb{R} en tant que quotient de fonctions dérivables sur \mathbb{R} dont le dénominateur ne s'annule pas.

On étudie le signe de la dérivée, en étudiant séparément le signe du numérateur et le signe du dénominateur: \forall x\in\mathbb{R}, e^x\gt0 Soit x\in\mathbb{R}, 2-x \gt 0 \Leftrightarrow x\lt 2 On en déduit le signe de f'\left(x\right): Etape 5 Enoncer le lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction On rappelle que: Si f'\left(x\right) \gt 0 sur un intervalle I, alors f est strictement croissante sur I. Si f'\left(x\right) \lt 0 sur un intervalle I, alors f est strictement décroissante sur I. D'après le cours, on sait que: Si f'\left(x\right) \gt 0 sur un intervalle I, alors f est strictement croissante sur I. Si f'\left(x\right) \lt 0 sur un intervalle I, alors f est strictement décroissante sur I. f est strictement croissante sur \left]-\infty; 2 \right[. f est strictement décroissante sur \left]2; +\infty \right[. Etape 6 Calculer les extremums locaux éventuels On calcule la valeur de f aux points où sa dérivée s'annule et change de signe. On calcule f\left(2\right): f\left(2\right) =\dfrac{2-1}{e^2} f\left(2\right) =e^{-2} Etape 7 Dresser le tableau de variations On synthétise ces informations dans le tableau de variations de f: Le domaine de définition de f, les valeurs où sa dérivée change de signe et les éventuelles valeurs interdites Le signe de f'\left(x\right) Les variations de f Les limites et les extremums locaux On dresse enfin le tableau de variations de f: Même si l'on connaît les étapes de l'étude de fonction par cœur, il est indispensable de lire soigneusement l'énoncé.