Casque Tete De Mort One Piece - Exercice Décomposition En Produit De Facteurs Premiers Paris

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Un nombre premier est un nombre entier qui n'a que deux diviseurs: 1 \red{1} et lui-m e ˆ me. \red{\text{lui-même. }}

L'objectif de cet exercice est de démontrer qu'il existe une infinité de couples d'entiers naturels consécutifs puissants. Pour cela, on considère l'équation $(E)$ suivante, dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers naturels: \[x^2-8y^2=1. \] On considère aussi la matrice $A=\begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}$. On définit deux suites d'entiers naturels $(x_n)$ et $(y_n)$ par \[x_0=1, \ y_0=0, \ \textrm{ et pour tout entier naturel}n, \ \begin{pmatrix}x_{n+1}\\ y_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}. \] Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $x_n>0$ et le couple $(x_n;y_n)$ est une solution de $(E)$. Démontrer que la suite $(x_n)$ est strictement croissante. En déduire que l'équation $(E)$ admet une infinité de solutions. Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels et $n=a^2b^3$. Exercice décomposition en produit de facteurs premiers 2018. Démontrer que $n$ est un nombre puissant. Montrer que si $(x, y)$ est un couple solution de $(E)$, alors $x^2-1$ et $x^2$ sont des entiers consécutifs puissants. En déduire qu'il existe une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants.