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Reprenons l'exemple de l'équation. Premier cas: est positif, l'équation à résoudre est. Trouvez la solution de l'équation. Pour la résolution, appliquez à chacun des membres les mêmes opérations de façon à isoler l'inconnue. Vous obtenez la première solution de l'équation. La résolution est la suivante:;;;;. Présentez l'équation avec la constante négative. Ici, il faut enlever la valeur absolue, la mettre à égalité avec l'opposée de la constante, puis faire comme précédemment les calculs [7]. Deuxième cas: dans l'équation, est négatif, l'équation à résoudre est. 4 Trouvez la solution de l'équation. Résoudre une inéquation avec des valeurs absolutes de. Vous obtenez la seconde solution de l'équation. Vérifiez la justesse de la première solution. Une fois l'équation résolue, vous devez vérifier que vous ne vous êtes pas trompé et pour cela, vous allez remplacer dans l'équation de départ par les valeurs trouvées [8]. Pour commencer, remplacez dans l'équation de départ par la solution obtenue avec l'équation positive: l'équation doit être vérifiée, les deux membres doivent être égaux.
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Ici, on a: Lorsque x \in \left]-\infty; 2 \right], \left| -x+2 \right| = 2x-8 \Leftrightarrow -x+2 = 2x-8 Lorsque x \in \left]2;+\infty \right[, \left| -x+2 \right| = 2x-8 \Leftrightarrow x-2 = 2x-8 Etape 3 Résoudre l'équation On résout la ou les équation(s) obtenue(s). On résout les deux équations obtenues: Lorsque x \in \left]-\infty; 2 \right]: -x+2 =2x-8 \Leftrightarrow -3x = -10 \Leftrightarrow x = \dfrac{10}{3}, or \dfrac{10}{3} \notin \left]-\infty; 2 \right], ce n'est donc pas une solution de l'équation. Lorsque x \in \left]2; +\infty \right[: x-2 =2x-8 \Leftrightarrow -x = -6 \Leftrightarrow x =6, or 6 \in \left] 2; +\infty \right[, c'est donc une solution de l'équation. Résoudre une inéquation avec des valeurs absolutes de la. S = \left\{ 6\right\} Penser bien à vérifier que chaque solution obtenue appartient bien à l'intervalle sur lequel on l'a déterminé. Si ce n'est pas le cas, ce n'est pas une solution de l'équation.
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Par exemple pour l'inéquation ∣ x − 2 ∣ > 3 \left|x - 2\right| > 3, les solutions sont les nombres situés à plus de 3 unités du nombre 2. On trouve donc: S =] − ∞; − 1 [ ∪] 5; ∞ [ S=\left] - \infty; - 1\right[ \cup \left]5; \infty \right[ Variante 2 Pour une inéquation du type ∣ x + a ∣ < b \left|x+a\right| < b on utilise le fait que x + a = x − ( − a) x+a=x - \left( - a\right). Par exemple l'inéquation ∣ x + 2 ∣ < 3 \left|x+2\right| < 3 est identique à ∣ x − ( − 2) ∣ < 3 \left|x - \left( - 2\right)\right| < 3. On applique alors la même méthode: la distance entre x et -2 est strictement inférieure à 3 etc. La valeur absolue - Maxicours. (faites le graphique! ) et on trouve: S =] − 5; 1 [ S=\left] - 5; 1\right[ Variante 3 Pour une inéquation du type ∣ m x + a ∣ < b \left|mx+a\right| < b on met m m en facteur puis on se ramène au cas précédent en divisant chaque membre par ∣ m ∣ \left|m\right|. Par exemple l'inéquation ∣ 2 x − 1 ∣ < 3 \left|2x - 1\right| < 3 donne: ∣ 2 ( x − 1 2) ∣ < 3 \left|2\left(x - \frac{1}{2}\right)\right| < 3 ∣ 2 ∣ × ∣ x − 1 2 ∣ < 3 \left|2\right|\times \left|x - \frac{1}{2}\right| < 3 car ∣ a b ∣ = ∣ a ∣ × ∣ b ∣ \left|ab\right|=\left|a\right|\times \left|b\right| 2 × ∣ x − 1 2 ∣ < 3 2\times \left|x - \frac{1}{2}\right| < 3 ∣ x − 1 2 ∣ < 3 2 \left|x - \frac{1}{2}\right| < \frac{3}{2} en divisant chaque membre par 2.
Méthode Pour résoudre graphiquement des inéquations du type ∣ x − a ∣ < b \left|x - a\right| < b ou ∣ x − a ∣ ⩽ b \left|x - a\right| \leqslant b ou ∣ x − a ∣ > b \left|x - a\right| > b ou ∣ x − a ∣ ⩾ b \left|x - a\right| \geqslant b, on utilise la propriété du cours qui dit que ∣ x − a ∣ \left|x - a\right| représente la distance entre x x et a a (plus précisément entre les points d'abscisses x x et a a). Exemple Par exemple, soit l'inéquation ∣ x − 2 ∣ < 3 \left|x - 2\right| < 3. Résoudre une inéquation avec des valeurs absolutes et. On interprète ceci comme « la distance entre x et 2 est strictement inférieure à 3 ». On trace donc le graphique suivant: Sur le graphique on voit que les nombres situés à moins de 3 unités du nombre 2 sont les nombres de l'intervalle] − 1; 5 [ \left] - 1; 5\right[. Donc: S =] − 1; 5 [ S=\left] - 1; 5\right[ Si l'inéquation avait été ∣ x − 2 ∣ ⩽ 3 \left|x - 2\right| \leqslant 3, il fallait prendre les extrémités de l'intervalle. L'ensemble des solutions était alors l'intervalle fermé: S = [ − 1; 5] S=\left[ - 1; 5\right] Variante 1 Pour une inéquation du type ∣ x − a ∣ > b \left|x - a\right| > b l'ensemble des solutions est la réunion de deux intervalles.
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