La Fonction Racine CarrÉE [ÉTude De Fonctions]

Preuve Propriété 3 On appelle $f$ la fonction carré. On considère deux réels $u$ et $v$. On a alors $f(u)-f(v) =u^2-v^2 = (u-v)(u + v)$ Montrons tout d'abord que la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;0]$. Si $u$ et $v$ sont deux réels tels que $u < v \pp 0$. Puisque $u0$. Donc $f(u)-f(v) > 0$ et $f(u) > f(v)$. La fonction $f$ est bien strictement décroissante sur $]-\infty;0]$. Montrons maintenant que la fonction $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$. Si $u$ et $v$ sont deux réels tels que $0 \pp u < v$. Puisque $u$ et $v$ sont tous les deux positifs, $u+v >0$. Par conséquent $(u-v)(u+v) <0$. Donc $f(u)-f(v) < 0$ et $f(u) < f(v)$. La fonction $f$ est bien strictement croissante sur $]-\infty;0]$. On obtient ainsi le tableau de variations suivant: 2. La fonction inverse Pro priété 4: La fonction inverse $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$.

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Accueil Soutien maths - Variation de fonctions et extremums Cours maths seconde Fonctions croissantes; fonctions décroissantes. Tableau de variations. Maximum et minimum. Notations Dans ce module: ƒ désigne une fonction définie sur D (D désigne donc le domaine de définition de la fonction ƒ) I est un intervalle inclus dans D Fonction croissante Graphiquement, ƒ est croissante sur l'intervalle I signifie que sur I, la courbe représentative Cƒ monte. ƒ est croissante sur l'intervalle I signifie que pour tous nombres réels x 1 et x 2: Autrement dit: « une fonction croissante conserve l'ordre ». Illustration: ƒ est croissante et on voit bien que: pour a inférieur à b, f(a) est inférieur à f(b). Exemples La fonction carrée (ƒ(x) = x²) est croissante sur [0; + ∞ [ Une fonction affine ƒ(x) = a x + b est croissante si a > 0 La fonction cube (ƒ(x) = x3) est croissante sur ℜ Fonction décroissante Graphiquement, ƒ est décroissante sur l'intervalle I signifie que sur I la courbe représentative Cƒ descend.

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- Etape 2: pour chacune des zones déterminer l'intervalle des abscisses qui lui est associé (trouver la borne inférieure et la borne supérieure) puis les reporter dans la première ligne du tableau de variations. - Etape 3: Pour chaque intervalle de la première ligne du tableau de variations faire correspondre dans la deuxième une flèche montante lorsque la fonction est croissante et une flèche descendante lorsqu'elle est décroissante. - Etape 4: Utiliser la courbe pour trouver l'image par f de chaque nombre figurant dans la première ligne (cette image correspond à l'ordonnée du point ayant ce nombre pour abscisse) puis, sous chaque nombre, reporter dans la deuxième ligne l'image trouvée (soit l'origine d'une flèche, soit à sa pointe). Exemple: on souhaite réaliser un tableau de variations à partir de la courbe suivante Etape 1 Etape 2 Etape 3 Etape 4 Tracer la courbe d'une fonction à partir de son tableau de variation Etape 1: Utiliser le tableau de variation pour obtenir les coordonnées des points correspondant à chaque extremum (la première ligne indique les abscisses et la deuxième ligne fournit les ordonnées).

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Elles se résolvent facilement si l'on connaît l'allure de la parabole représentant la fonction carré (voir l'exemple 2). La maîtrise de ces équations et inéquations permet de résoudre les équations ou inéquation du type: $(f(x))^2=k$ et $(f(x))^2$ ou $≥$ (où $k$ est un réel fixé et $f$ une fonction "simple") (voir l'exemple 3). Exemple 2 Résoudre l'équation $x^2=10$ Résoudre l'inéquation $x^2≤10$ Résoudre l'inéquation $x^2≥10$ Exemple 3 Résoudre l'équation $(2x+1)^2=9$ $(2x+1)^2=9$ $⇔$ $2x+1=√{9}$ ou $2x+1=-√{9}$ $⇔$ $2x=3-1$ ou $2x=-3-1$ $⇔$ $x={2}/{2}=1$ ou $x={-4}/{2}=-2$ S$=\{-2;1\}$ La méthode de résolution vue dans le cours sur les fonctions affines fonctionne également, mais elle est beaucoup plus longue. On obtiendrait: $(2x+1)^2=9$ $⇔$ $(2x+1)^2-9=0$ $⇔$ $(2x+1)^2-3^=0$ $⇔$ $(2x+1-3)(2x+1+3)=0$ $⇔$ $(2x-2)(2x+4)=0$ $⇔$ $2x-2=0$ ou $2x+4=0$ $⇔$ $x=1$ ou $x=-2$ On retrouverait évidemment les solutions trouvées avec la première méthode!

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