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Notion abordée dans cette leçon - Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers – 3ème Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers Pour commencer cette leçon je dois avoir la liste des nombres premiers devant les yeux ou dans la tête si j'ai réussi à les apprendre. Liste des nombres premiers 2 – 3 – 5 – 7 11 – 13 – 17 – 19 23 – 29 31 – 37 41 – 43 – 47 53 – 59 61 – 67 71 – 73 – 79 83 – 89 97 1. Par exemple si j'écris: 15 = 3 x 5 j'ai décomposé 15 en produit de facteurs premiers car j'ai écrit 15 comme le produit de deux nombres premiers. En effet 3 et 5 sont dans la liste. Nombres premiers : décomposition - simplifier des fractions - Crible d'Ératosthène. Par contre si j'écris: 12 = 4 x 3 je n'ai pas décomposé 12 en produits de facteurs premiers car dans ce produit 4 n'est pas premier. En effet 4 n'est pas dans la liste. Or 4 = 2 x 2 donc on peut écrire 12 = 2 x 2 x 3 qu'on peut encore écrire 12 = 2² x 3 Donc décomposer en produit de facteurs premiers un nombre veut dire qu'il faut écrire le nombre sous la forme d'un produit de nombres premiers. Ils doivent tous figurer dans la liste.

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Montrer que $\prod_{d|n}d=\sqrt{n}^{d(n)}$. Enoncé Démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $4k+3$. Enoncé Déterminer tous les entiers naturels dont le produit des diviseurs (positifs) est égal à $45^{42}$. Enoncé Soit $q$ un entier. Trouver un intervalle de longueur $q$ ne contenant pas de nombres premiers. Enoncé Soit $n\geq 2$ un entier et $S_n=\sum_{i=1}^n \frac 1i$. Démontrer que $S_n$ n'est jamais un entier. Écrire une fonction $\textrm{divise}(p, q)$ d'argument deux entiers naturels non nuls $p$ et $q$ et renvoyant True si $p$ divise $q$, et False sinon. Écrire une fonction $\textrm{estpremier}(p)$ d'argument un entier naturel $p$, renvoyant $1$ si $p$ est premier, et renvoyant $0$ sinon. Exercice décomposition en produit de facteurs premiers mots. Écrire une fonction $\phi(n)$ d'argument un entier naturel $n$ et renvoyant le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$. Petits problèmes avec des nombres premiers Enoncé On dit qu'un entier naturel $n$ est un nombre puissant si, pour tbut diviseur premier $p$ de $n$, alors $p^2$ divise $n$.

Vous: "Incroyable, impossible! " Moi: "Si! Tenez, choisissez un nombre premier différent de 2 et 3. Élevez-le au carré, ajoutez 17, divisez par 12, et rappelez-vous le reste! " Vous: "Ouh, la, la, c'est compliqué! Ca y est! " Moi: "C'est 6, n'est-ce pas! " Vous: "Incroyable! Mais comment avez-vous fait? " Et vous, saurez-vous déjouer le tour du magicien des mathématiques? Enoncé Soient $a, n\geq 2$ des entiers. Montrer que si $a^n-1$ est premier, alors $a=2$ et $n$ est premier. On note $M_n=2^n-1$ le $n$-ième nombre de Mersenne. Vérifier que $M_{11}$ n'est pas premier. Enoncé Soit $n\in\mathbb N$ vérifiant $10\leq n\leq 120$. Démontrer que $n$ est premier si et seulement s'il existe un entier $a\in\mathbb Z$ tel que $an\equiv 1[210]. $ Enoncé Soit $n$ un nombre entier, $n=p_1^{\alpha_1}\dots p_r^{\alpha_r}$ sa décomposition en produit de facteurs premiers. On note $d(n)$ le nombre de diviseurs de $n$. Montrer que $d(n)=\prod_{i=1}^r (\alpha_i+1)$. Exercice décomposition en produit de facteurs premiers la. Montrer que $n$ est un carré parfait si et seulement si $d(n)$ est impair.