Deguisement Homme Drole – La Boule Intégrale

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Intégrales curvilignes, intégrales multiples (exercices de Jean-Louis Rouget), exercices 3 [005908] et 9 [005914]. Ou encore, pour la question 4: en passant en coordonnées polaires,. Exercice 1-10 [ modifier | modifier le wikicode] Exercice 1-11 [ modifier | modifier le wikicode] Soient et. Calculer l'aire de. Pour, posons et. Alors, est injective et son jacobien vaut donc l'aire vaut. Le jacobien de est égal à, donc. Soient et. Calculer. On pourra effectuer le changement de variables,. Le jacobien de est égal à donc. Exercice 1-12 [ modifier | modifier le wikicode] Pour tout, soient et. Montrer que. En déduire l'existence et la valeur de. L'intégrande est positif et. Quand, (par le théorème de Fubini) donc d'après la question 1 et le théorème des gendarmes,. Or (à nouveau par le théorème de Fubini). Par conséquent,. Autrement dit: l' intégrale impropre est égale à, ou encore (par parité) l' intégrale de Gauss est égale à. Recalculer cette intégrale de Gauss en appliquant le théorème de Tonelli à l'application sur.

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» Cette découverte fera de lui un mathématicien particulièrement important dans l'Histoire [ 3]. Il en est si fier qu'il donne des instructions pour que sa tombe soit gravée d'une sphère inscrite dans un cylindre [ 3], [ 4]. Démonstrations [ modifier | modifier le code] Par la méthode d'exhaustion [ modifier | modifier le code] Le principe de la méthode d'exhaustion (attribuée à Eudoxe de Cnide) est un double raisonnement par l'absurde, supposant d'abord que le volume est supérieur à 4 / 3 π R 3, puis qu'il est inférieur, et à obtenir une contradiction dans chaque cas. Bien que cette démonstration soit rigoureuse, elle suppose de connaître déjà le résultat à établir; avant la découverte du palimpseste d'Archimède, on ignorait comment il était parvenu à obtenir ceux du traité De la sphère et du cylindre. Par le calcul intégral [ modifier | modifier le code] Illustration du calcul du volume d'une boule par intégration La méthode d'Archimède (redécouverte dans le palimpseste portant son nom) consiste à découper la boule en disques minces, donc des cylindres, dont on ajoute le volume (assimilé au produit de leur surface par leur épaisseur).

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En langage moderne, cela revient à calculer la limite d'une somme de Riemann, et donc à calculer une intégrale définie. Si l'on considère la variable h allant de – R à R, le cylindre correspondant à la hauteur h et d'épaisseur infinitésimale d h a pour rayon r h vérifiant, d'après le théorème de Pythagore r h 2 + h 2 = R 2; comme le volume de ce cylindre est π r h 2 d h, on obtient comme volume de la boule De même et plus généralement, le volume d'une « calotte », portion de boule limitée par deux plans parallèles, à distance D ≤ 2 R, et dont l'un est tangent à la sphère, est ( V 2 R = V). Plus généralement encore, le volume d'une « tranche » d'épaisseur D entre deux plans de cotes H et H' (où - R < H' < H < R), est (avec D = H - H'). Notes et références [ modifier | modifier le code] Articles connexes [ modifier | modifier le code] Calcul du volume de l'hypersphère Problème du rond de serviette Portail de la géométrie

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