Fonction Homographique - Seconde - Cours: Enseigne Drapeau Ronde

Sun, 14 Jul 2024 14:15:28 +0000
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Une fonction homographique est une fonction qui admet une expression de la forme f\left(x\right) = \dfrac{ax+b}{cx+d}, avec c\neq0 et ad-bc\neq0. On est donc capable de déterminer si une fonction est homographique ou non. On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{5}{2} \right\} par: f\left(x\right) = 2+\dfrac{3x}{2x-5} f est-elle une fonction homographique? Etape 1 Mettre la fonction sous forme de quotient Si ce n'est pas déjà le cas, on met la fonction sous forme d'un seul quotient. La fonction f est définie sur \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{5}{2} \right\} par: f\left(x\right) = 2+\dfrac{3x}{2x-5} On met les deux termes sur le même dénominateur. Pour tout réel x différent de \dfrac{5}{2}: f\left(x\right) = \dfrac{2\left(2x-5\right)}{2x-5}+\dfrac{3x}{2x-5} f\left(x\right) =\dfrac{4x-10+3x}{2x-5} Finalement: f\left(x\right) =\dfrac{7x-10}{2x-5} Etape 2 Rappeler la forme d'une fonction homographique On rappelle le cours: f est une fonction homographique s'il existe quatre nombres réels a, b, c et d avec c \neq 0 et ad-bc \neq 0 tels que f\left(x\right) = \dfrac{ax+b}{cx+d}.

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Si $-10$ et $v+1>0$ donc $(u+1)(v+1)>0$ Par conséquent $f(u)-f(v)>0$ et la fonction $f$ est décroissante sur $]-1;+\infty[$. [collapse]

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Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier le signe d'une fonction homographique. Une fonction homographique est un façon compliquée de dire un quotient de deux fonctions linéaires. Comme un division est équivalente à une multiplication par l'inverse, les règles pour déterminer le signe d'une fonction homographique vont être les mêmes que pour un produit de deux fonctions affines, avec une exception: il faudra exclure la valeur annulatrice de c x + d cx+d du domaine de définition de f f. Ecrivons ce qu'on vient de dire mathématiquement: Définition Soient a a, b b, c c et d d quatre nombres réels tels que c ≠ 0 c \neq 0. La fonction f f définie par: f ( x) = a x + b c x + d f(x)= \dfrac{ax+b}{cx+d} est appelée fonction homographique. On remaquera que diviser a x + b ax+b par c x + d cx + d est équivalent de multiplier deux fonctions affines a x + b ax+b et 1 c x + d \dfrac{1}{cx+d}. Passons maintenant à la valeur qui annule le dénominateur, c'est-à-dire c x + d cx+d. Domaine de définition d'une fonction homographique Regardons maintenant comment calculer la valeur interdite et écrire le domaine de définition à partir de celle-ci: Propriété Soit la fonction homographique f ( x) = a x + b c x + d f(x)= \dfrac{ax+b}{cx+d} et D f D_f son ensemble de définition.

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Exercice 4 Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty;6[\cup]6;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{2x-12}$. Reproduire et compléter le tableau de valeur suivant: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x&0&4&5&5, 5&6, 5&7&8 \\ f(x) & & & & & & & \\ \end{array}$$ Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère. Déterminer graphiquement puis retrouver par le calcul l'antécédent de $-\dfrac{1}{3}$. Correction Exercice 4 f(x) &-\dfrac{1}{12} &-\dfrac{1}{4} &-\dfrac{1}{2} &-1 &1 &\dfrac{1}{2} &\dfrac{1}{4} \\ Graphiquement, un antécédent de $-\dfrac{1}{3}$ semble être $4, 5$. On cherche la valeur de $x$ telle que: $\begin{align*} f(x) = -\dfrac{1}{3} & \Leftrightarrow \dfrac{1}{2x-12}= -\dfrac{1}{3} \\\\ & \Leftrightarrow 1 \times (-3) = 2x – 12 \text{ et} x \neq 6 \\\\ & \Leftrightarrow -3 + 12 = 2x \text{ et} x \neq 6 \\\\ & \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{2} L'antécédent de $-\dfrac{1}{3}$ est donc $\dfrac{9}{2}$. Exercice 5 Résoudre les inéquations suivantes: $\dfrac{2x – 5}{x – 6} \ge 0$ $\dfrac{5x-2}{-3x+1} < 0$ $\dfrac{3x}{4x+9} > 0$ $\dfrac{2x – 10}{11x+2} \le 0$ Correction Exercice 5 Dans chacun des cas, nous allons étudier le signe du numérateur et du dénominateur puis construire le tableau de signes associé.

On détermine la valeur où s'annule 3 x − 9 3x-9: 3 x − 9 = 0 3x-9=0 équivaut à 3 x = 9 3x=9 équivaut à x = 9 3 = 3 x=\dfrac{9}{3} =3. On fait apparaître dans un tableau de signes, les signes de x − 2 x-2 et de 3 x − 9 3x-9, puis on utilise la règle des signes pour en déduire le signe du quotient x − 2 3 x − 9 \dfrac{x-2}{3x-9}: Pour l'expression 4 x + 1 1 − x \dfrac{4x+1}{1-x}: On détermine la valeur où s'annule 4 x + 1 4x+1: 4 x + 1 = 0 4x+1=0 équivaut à 4 x = − 1 4x=-1 équivaut à x = − 1 4 x={-\dfrac{1}{4}}. On détermine la valeur où s'annule 1 − x 1-x: 1 − x = 0 1-x=0 équivaut à x = 1 x= {1}. On dresse le tableau de signes du quotient 4 x + 1 1 − x \dfrac{4x+1}{1-x}:

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Toutefois, le plus grand avantage de ce type d'éclairage réside au niveau de sa longévité. L'enseigne Drapeau au néon peut en effet vivre à l'abri des intempéries durant 7 ans pour une utilisation en continu. Lorsqu'elle est installée à l'extérieur, sa durée de vie est alors de 4 ans pour une utilisation de 24 h/24. Inconvénient des enseignes Drapeaux au néon Si ce dispositif bénéficie d'une grande longévité, il est important de rappeler qu'il souffre de certaines faiblesses. Les tubes au néon sont en effet très fragiles, et leur installation est délicate. Ils peuvent donc être à l'origine de décharges électriques en cas de mauvaises connexions. Ils sont enfin très gourmands en électricité et font grimper ainsi les factures. Les enseignes Drapeaux à LED Outre le néon, le second moyen d'éclairage des enseignes Drapeaux est l'utilisation des diodes électroluminescentes. Elles sont recommandées pour les usages à l'intérieur des enseignes décoratives, mais également pour les écrans d'affichage.

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La plupart des pharmacies et des commerces à l'image des drugstores optent pour des enseignes Drapeaux illuminées avec des néons ou avec des lumières LED. Pour les établissements tels que les hôtels ou les restaurants, les modèles proposés sont souvent les enseignes Drapeaux en toile. Il s'agit dans ce cas d'une combinaison des caissons métalliques et de la toile. Certaines structures choisissent enfin de personnaliser leurs enseignes Drapeaux en fonction des activités effectuées. C'est le cas par exemple des opticiens qui demandent généralement des dispositifs en forme de lunettes. Quel que soit le type ou la forme des enseignes Drapeaux utilisées, il s'agit à la base de dispositifs illuminés. Le choix des modèles illuminés se fait dans le but de rendre l'enseigne Drapeau le plus visible possible. Il permet ainsi de capter aisément l'attention des lecteurs, mais également de déchiffrer les messages inscrits de jour comme de nuit. Selon le résultat escompté, il est possible de choisir entre un éclairage au néon ou un éclairage aux LED.

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