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Sun, 30 Jun 2024 01:49:26 +0000
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Limites de fonctions A SAVOIR: le cours sur les limites de fonctions Exercice 1 Un exercice graphique à savoir faire absolument. 1. Conjecturer la valeur de $\lim↙{x→+∞}f(x)$. 2. Conjecturer la valeur chacune des limites suivantes, et donner, s'il y a lieu, l'équation réduite de l'asymptote associée. $\lim↙{x→-∞}f(x)$ $\lim↙{{}^{x→{-2}}_{x\text"<"-2}}f(x)$ $\lim↙{{}^{x→{-2}}_{x\text">"-2}}f(x)$ Solution... Corrigé 1. Comme $x$ tend vers $+∞$, on considère un point M sur la partie droite de $\C_f$, et on déplace M vers la droite. On regarde vers quoi tend l'ordonnée de M. On conjecture que $\lim↙{x→+∞}f(x)=-∞$ 2. Comme $x$ tend vers $-∞$, on considère un point M sur la partie gauche de $\C_f$, et on déplace M vers la gauche. On regarde vers quoi tend l'ordonnée de M. On conjecture que $\lim↙{x→-∞}f(x)=1$ Donc la droite d'équation $y=1$ est asymptote horizontale à $\C_f$. Comme $x$ tend vers $-2$ en restant inférieur à $-2$, on considère un point M sur la partie gauche de $\C_f$, On conjecture que $\lim↙{{}^{x→{-2}}_{x\text"<"-2}}f(x)=-∞$ Donc la droite d'équation $x=-2$ est asymptote verticale à $\C_f$.

Pour étudier les variations de A, on étudie le signe de sa dérivée: A'(x) = -4x^3 + 18x^2 - 20x + 8 Mais on ne sait pas étudier le signe d'un tel polynôme de degré 3 (on ne sait pas le factoriser facilement ici), on va donc étudier les variations de A'. Pour étudier les variations de A', on étudie le signe de sa dérivée: A''(x) = -12x^2 + 36x - 20 A''(x) est un polynôme de degré 2, ses racines sont (3 - V(7/3))/2 0. 74 et (3 + V(7/3))/2 2. 26, et on déduit que A'' est négative sur]-infini, (3 - V(7/3))/2] [(3 + V(7/3))/2, +infini[ et positive sur [(3 - V(7/3))/2, (3 + V(7/3))/2]. Si on se restreint à l'intervalle [0, 4], A'' est négatif sur [0, (3 - V(7/3))/2] [(3 + V(7/3))/2, 4] et positif sur [(3 - V(7/3))/2, (3 + V(7/3))/2]. Donc A' est décroissante sur [0, (3 - V(7/3))/2] [(3 + V(7/3))/2, 4] et croissante sur [(3 - V(7/3))/2, (3 + V(7/3))/2]. Voici le graphe de A', On peut maintenant déduire le signe de A' sur l'intervalle [0, 4]. Sur [0, (3 - V(7/3))/2], A' est strictement décroissante, on a A'(0) = 8, et A'((3 - V(7/3))/2) 1.

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