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6. 3. Eexemples Exemple 1. Déterminer tous les couples de nombres réels, s'il en existe, dont la somme est égale à $5$ et le produit à $-14$. Corrigé 1. On cherche un couple $(x;y)$ de nombres tels que: $S=x+y=5$ et $P=xy=-14$. Déjà, on peut remarquer que $x$ et $y$ sont de signes contraires. D'après le cours, $x$ et $y$ sont solutions de l'équation $X^2-SX+P=0$, où $X$ désigne l'inconnue. Produit des racines. On résout donc l'équation: $$X^2-5X-14=0$$ On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$. $\Delta=(-5)^2-4\times 1\times(-14)$. $\boxed{\; \Delta=81\;}$. Comme $\Delta>0$, cette équation admet deux solutions réelles distinctes (à calculer): $X_1=-2$ et $X_2=7$. Comme $X_1$ et $X_2$ jouent des rôles symétriques, nous obtenons donc deux couples solutions du problème: Si $x=-2$ alors $y=7$ et si $x=7$ alors $y=-2$. Conclusion. L'ensemble des solutions du problème est: $$\color{red}{\boxed{\;{\cal S}=\left\{ (-2;7); (7;-2) \right\}\;}}$$ Exemple 2. Déterminer tous les couples de nombres réels, s'il en existe, dont la somme des carrés est égale à $34$ et le produit à $-15$.

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Une condition nécessaire et suffisante est donc (en développant et en identifiant les coefficients):. Exercice 2-8 [ modifier | modifier le wikicode] On note la somme du monôme et de tous ceux obtenus par permutation des trois variables (par exemple:). En s'inspirant de la preuve du théorème fondamental des fonctions symétriques fournie dans la leçon sur l' équation du quatrième degré, exprimer, en fonction des trois polynômes symétriques élémentaires, les neuf polynômes suivants: et tester, pour, les égalités obtenues. Solution,.,.,.,.,.,.,.,.,. Somme et produit des racines d'un polynôme. Exercice 2-9 [ modifier | modifier le wikicode] Démontrer que les polynômes symétriques en trois variables invariants par translation (de ces trois variables) sont les polynômes en et. Les polynômes symétriques élémentaires en les (que nous noterons) se déduisent de ceux (notés) en par identification des coefficients dans:, ce qui donne:. Un polynôme en est symétrique et invariant par translation si c'est un polynôme symétrique en les, c'est-à-dire, d'après ce qui précède, un polynôme en et, égaux respectivement à Exercice 2-10 [ modifier | modifier le wikicode] Trouvez tous les triplets de nombres complexes vérifiant la condition suivante:.

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Aussi, que puis-je faire pour la somme des racines (je pense que nous utilisons les coefficients de $x^{n-1}$)? EDIT: JW Tanner a noté dans son commentaire que ce sont les formules de Vieta qui sont exactement ce que je cherchais mais je n'ai pas pu trouver.