Produit Scalaire Canonique — Wikipédia — La Belle Au Bois Dormait Verlaine

Inscription / Connexion Nouveau Sujet Posté par alexyuc 14-05-12 à 20:16 Bonjour, J'ai un souci de démarrage avec un exercice sur les espaces vectoriels euclidiens, concernant un produit scalaire canonique. L'énoncé dit: Soit \mathbb{R}^n le \mathbb{R} euclidien muni du produit scalaire canonique. 1) Montrer que, 2) A quelle condition cette inégalité est-elle une égalité? J'ai pensé au fait que: A part ça, je n'ai pas d'idées sur comment montrer une éventuelle inégalité entre et Pourriez-vous m'éclairer s'il vous plaît? Merci beaucoup Alex Posté par carpediem re: Produit scalaire canonique (Ev euclidiens) 14-05-12 à 20:21 salut 1/ inégalité de Cauchy-Schwarz... 2/ une évidente égalité.... Posté par MatheuxMatou re: Produit scalaire canonique (Ev euclidiens) 14-05-12 à 20:24 bonjour... cela fait un peu penser à une démonstration concernant l'expression de la variance d'une série statistique... non? pose on a et quand tu développes, tu obtiens ce que tu cherches Posté par MatheuxMatou re: Produit scalaire canonique (Ev euclidiens) 14-05-12 à 20:25 tiens bonsoir Capediem Posté par MatheuxMatou re: Produit scalaire canonique (Ev euclidiens) 14-05-12 à 20:25 (la somme commence à 1, pas à 0) Posté par carpediem re: Produit scalaire canonique (Ev euclidiens) 14-05-12 à 20:29 salut MM.... bien vu l'idée de la variance la formule de Koenig.... Posté par alexyuc re: Produit scalaire canonique (Ev euclidiens) 14-05-12 à 20:36 En effet, l'égalité de Cauchy Schwarz est dans mon cours.

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Produit scalaire, orthogonalité Enoncé Les applications suivantes définissent-elles un produit scalaire sur $\mathbb R^2$? $\varphi_1\big((x_1, x_2), (y_1, y_2)\big)=\sqrt{x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2}$; $\varphi_2\big((x_1, x_2), (y_1, y_2)\big)=4x_1y_1-x_2y_2$; $\varphi_3\big((x_1, x_2), (y_1, y_2)\big)=x_1y_1-3x_1y_2-3x_2y_1+10x_2y_2$. Enoncé Pour $A, B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, on définit $$\langle A, B\rangle=\textrm{tr}(A^T B). $$ Démontrer que cette formule définit un produit scalaire sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$. En déduire que, pour tous $A, B\in\mathcal S_n(\mathbb R)$, on a $$\big(\textrm{tr}(AB))^2\leq \textrm{tr}(A^2)\textrm{tr}(B^2). $$ Enoncé Soit $n\geq 1$ et soit $a_0, \dots, a_n$ des réels distincts deux à deux. Montrer que l'application $\varphi:\mathbb R_n[X]\times\mathbb R_n[X]\to\mathbb R$ définie par $\varphi(P, Q)=\sum_{i=0}^n P(a_i)Q(a_i)$ définit un produit scalaire sur $\mathbb R_n[X]$. Enoncé Démontrer que les formules suivantes définissent des produits scalaires sur l'espace vectoriel associé: $\langle f, g\rangle=f(0)g(0)+\int_0^1 f'(t)g'(t)dt$ sur $E=\mathcal C^1([0, 1], \mathbb R)$; $\langle f, g\rangle=\int_a^b f(t)g(t)w(t)dt$ sur $E=\mathcal C([a, b], \mathbb R)$ où $w\in E$ satisfait $w>0$ sur $]a, b[$.

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Montrer, en utilisant la question précédente, que si $x, y\in E$ et $r\in\mtq$, on a $(rx, y)=r(x, y)$. En utilisant un argument de continuité, montrer que c'est encore vrai pour $r\in\mtr$. Conclure! Enoncé Soient $(E, \langle. \rangle)$ un espace préhilbertien réel, $\|. \|$ la norme associée au produit scalaire, $u_1, \dots, u_n$ des éléments de $E$ et $C>0$. On suppose que: $$\forall (\veps_1, \dots, \veps_n)\in\{-1, 1\}^n, \ \left\|\sum_{i=1}^n \veps_iu_i\right\|\leq C. $$ Montrer que $\sum_{i=1}^n \|u_i\|^2\leq C^2. $ Géométrie Enoncé Le but de l'exercice est de démontrer que, dans un triangle $ABC$, les trois bissectrices intérieures sont concourantes et que le point d'intersection est le centre d'un cercle tangent aux trois côtés du triangle. Pour cela, on considère $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension égale à $2$, $D$ et $D'$ deux droites distinctes de $E$, $u$ et $v$ des vecteurs directeurs unitaires de respectivement $D$ et $D'$. On pose $w_1=u+v$ et $w_2=u-v$, $D_1$ la droite dirigée par $w_1$ et $D_2$ la droite dirigée par $w_2$.

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On pose, pour $f, g\in E$, $$\phi(f, g)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac1{2^n}f(a_n)g(a_n). $$ Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a$ pour que $\phi$ définisse un produit scalaire sur $E$. Inégalité de Cauchy-Schwarz Enoncé Soit $x, y, z$ trois réels tels que $2x^2+y^2+5z^2\leq 1$. Démontrer que $(x+y+z)^2\leq\frac {17}{10}. $ Enoncé Soient $x_1, \dots, x_n\in\mathbb R$. Démontrer que $$\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2\leq n\sum_{k=1}^n x_k^2$$ et étudier les cas d'égalité. On suppose en outre que $x_k>0$ pour chaque $k\in\{1, \dots, n\}$ et que $x_1+\dots+x_n=1$. $$\sum_{k=1}^n \frac 1{x_k}\geq n^2$$ Enoncé Étudier la nature de la série de terme général $u_n=\frac{1}{n^2(\sqrt 2)^n}\sum_{k=0}^n \sqrt{\binom nk}$. Enoncé Soit $E=\mathcal C([a, b], \mathbb R_+^*)$. Déterminer $\inf_{f\in E}\left(\int_a^b f\times \int_a^b \frac 1f\right)$. Cette borne inférieure est-elle atteinte? Norme Enoncé Soit $E$ un espace préhilbertien et soit $B=\{x\in E;\ \|x\|\leq 1\}$. Démontrer que $B$ est strictement convexe, c'est-à-dire que, pour tous $x, y\in B$, $x\neq y$ et tout $t\in]0, 1[$, $\|tx+(1-t)y\|<1$.

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$$ Espace vectoriel euclidien L'exemple précédent est un modèle pour la définition d'un produit scalaire dans un cadre bien plus général que celui du plan. On cherche à le définir sur un espace de toute dimension. Les propriétés vérifiées par le produit scalaire dans le cas du plan conduisent à poser la définition suivante: Définition: Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb R$, et soit $f:E\times E\to \mathbb R$ une fonction. On dit que f est un produit scalaire si pour tous $u, v$ de $E$, $f(u, v)=f(v, u)$. pour tous $u, v, w$ de $E$, $f(u+v, w)=f(u, w)+f(v, w)$. pour tout $\lambda\in\mathbb R$, et tous $u, v$ de $E$, $f(\lambda u, v)=f(u, \lambda v)=\lambda f(u, v)$. pour tout $u$ de $E$, $f(u, u)>=0$, avec égalité si, et seulement si, $u=0$. Autrement dit, un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive. Définition: Un espace vectoriel sur $\mathbb R$ muni d'un produit scalaire est dit euclidien s'il est de dimension finie. préhilbertien s'il est de dimension infinie.

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Démontrer que $\langle u, v\rangle\in]-1, 1[$. Démontrer que $D_1=D_2^{\perp}$. Soit $x=\alpha u+\beta v$ un vecteur de $E$. Calculer $d(x, D)^2$ et $d(x, D')^2$ en fonction de $\alpha, \beta, u$ et $v$. Démontrer que $d(x, D)=d(x, D')\iff x\in D_1\cup D_2$. On suppose que $x$ est non nul. Démontrer que $x\in D_1$ si et seulement si $\cos\big(\widehat{(u, x)}\big)=\cos\big(\widehat{(v, x)}\big). $ En déduire le résultat annoncé au début de l'exercice.

C'est le jour, pour le seur, c'est le poinct asseuré Qui te delivrera du combat enduré, Qui t'a toute la nuict fait guerre si cruelle, Mon oeil ne veille plus, tu es en liberté De t'aller reposer par le jour appresté, Qui t'annonce le point de ceste aube nouvelle. Salomon Certon [singlepic id=81 w=320 h=240 mode=web20 float=center] Jackie Martinez (#13250) Par mark sebastian La Belle au Bois dormait La Belle au Bois dormait. Cendrillon sommeillait. Madame Barbe-bleue? elle attendait ses frères; Et le petit Poucet, loin de l'ogre si laid, Se reposait sur l'herbe en chantant des prières. L'Oiseau couleur-du-temps planait dans l'air léger Qui caresse la feuille au sommet des bocages Très nombreux, tout petits, et rêvant d'ombrager Semaille, fenaison, et les autres ouvrages. Les fleurs des champs, les fleurs innombrables des champs, Plus belles qu'un jardin où l'Homme a mis ses tailles, Ses coupes et son goût à lui, – les fleurs des gens! – Flottaient comme un tissu très fin dans l'or des pailles, Continuer la lecture de « « La Belle au Bois dormait… » de Paul Verlaine » Si tu t'enquiers pourquoi sur mon tombeau Si tu t'enquiers pourquoi sur mon tombeau On aura mis deux éléments contraires, Comme tu vois être le feu et l'eau Continuer la lecture de « Si tu t'enquiers pourquoi sur mon tombeau » de Maurice Scève » Gente Dame Il n'est plus, ô ma Dame, D'amour en cape, en lame, Que Vous!

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La Belle au Bois dormait. Cendrillon sommeillait. Madame Barbe-bleue? elle attendait ses frères; Et le petit Poucet, loin de l'ogre si laid, Se reposait sur l'herbe en chantant des prières. L'Oiseau couleur-du-temps planait dans l'air léger Qui caresse la feuille au sommet des bocages Très nombreux, tout petits, et rêvant d'ombrager Semaille, fenaison, et les autres ouvrages. Les fleurs des champs, les fleurs innombrables des champs, Plus belles qu'un jardin où l'Homme a mis ses tailles, Ses coupes et son goût à lui, les fleurs des gens! - Flottaient comme un tissu très fin dans l'or des pailles, Et, fleurant simple, ôtaient au vent sa crudité, Au vent fort, mais alors atténué, de l'heure Où l'après-midi va mourir. Et la bonté Du paysage au coeur disait: Meurs ou demeure! Les blés encore verts, les seigles déjà blonds Accueillaient l'hirondelle en leur flot pacifique. Un tas de voix d'oiseaux criait vers les sillons Si doucement qu'il ne faut pas d'autre musique Peau d'Ane rentre. On bat la retraite écoutez!

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La Belle au Bois dormait La belle au bois dormait. Cendrillon someillait. Madame Barbe-Bleue? elle attendait ses frères; Et le petit Poucet, loin de l'ogre si laid, Se reposait sur l'herbe en chantant des prières. L'oiseau couleur-du-temps planait dans l'air léger Qui caresse la feuille au sommet des bocages Très nombreux, tout petits, et rêvant des bocages Semaille, fenaison et les autres ouvrages. Les fleurs des champs, les fleurs innombrables des champs, Plus belles qu'un jardin où l'homme a mis ses tailles, Ses coupes et son goùt à lui, -les fleurs des gens! - Flottaient comme un tissu très clair dans l'or des pailles. Les blés encore verts, les seigles déjà blonds Accueillaient l'hirondelle en leur flot pacifique. Un tas de voix d'oiseaux criaient vers les sillons Si doucement qu'il ne faut pas d'autre musique... Peau d' Ane bat la retraite- écoutez! - Dans les Etats-Unis voisins de Riquet-à-la-Houppe, Et nous joignons l'auberge, enchantés, esquintés, Le bon coin où se coupe et se trempe la soupe!

On bat la retraite - écoutez! - Dans les Etats voisins de Riquet-à-la-Houppe, Et nous joignons l'auberge, enchantés, esquintés, Le bon coin où se coupe et se trempe la soupe! More from Poet Les sanglots longs Des violons De l'automne Blessent mon cœur D'une langueur Monotone. Tout suffocant Et blême, quand Sonne l'heure, Je me souviens Des jours anciens Et je pleure; Et je m'en vais Au vent mauvais... (A Germain Nouveau) Dans une rue, au coeur d'une ville de rêve Ce sera comme quand on a déjà vécu: Un instant à la fois très vague et très aigu... Ô ce soleil parmi la brume qui se lève! Ô ce cri sur la mer, cette voix dans les bois! Ce sera comme quand... Un pavillon à claires-voies Abrite doucement nos joies Qu'éventent des rosiers amis; L'odeur des roses, faible, grâce Au vent léger d'été qui passe, Se mêle aux parfums qu'elle a mis; Comme ses yeux l'avaient promis, Son courage est grand et sa lèvre... Je suis l'Empire à la fin de la décadence, Qui regarde passer les grands Barbares blancs En composant des acrostiches indolents D'un style d'or où la langueur du soleil danse.