Corrigé Sujet Maths S 2014 15 L Intervalle / Quad Enfant 49 Cc
Par conséquent: $$\begin{align} MN &= |x-3-f(x)| \\\\ &=|-g(x)| \\\\ &=g(x)\quad \text{puisque} g(x) > 0 \end{align} $$ $g'(x) = -5\text{e}^{-x} + 6\text{e}^{-2x} = \text{e}^{-x}(-5 + 6\text{e}^{-x})$. La fonction exponentielle est toujours strictement positive. Par conséquent le signe de $g'(x)$ ne dépend que de celui de $-5 + 6\text{e}^{-x}$. $$\begin{align} -5 + 6\text{e}^{-x} \ge 0 &\Leftrightarrow -5 \ge -6\text{e}^{-x} \\\\ &\Leftrightarrow \dfrac{5}{6} \le \text{e}^{-x} \\\\ &\Leftrightarrow \text{ln} \dfrac{5}{6} \le -x \\\\ & \Leftrightarrow x \le – \text{ln} \dfrac{5}{6} \\\\ x \le \text{ln} \dfrac{6}{5} $g$ est donc croissante sur $\left[0;\text{ln} \dfrac{6}{5} \right[$ et décroissante sur $\left[\text{ln} \dfrac{6}{5};+\infty \right[$. La fonction $g$ admet donc un maximum en $\text{ln} \dfrac{6}{5}$. Annales mathématiques du bac scientifique (S)2014. $$\begin{align} g \left( \text{ln} \dfrac{6}{5} \right) &= 5 \times \dfrac{5}{6} – 3 \times \left( \dfrac{5}{6} \right)^2 \\\\ &= \dfrac{25}{6} – \dfrac{25}{12} \\\\ &=\dfrac{25}{12} La distance maximale pour $MN$ est donc de $\dfrac{25}{12}$ unités.
Corrigé Sujet Maths S 2014 Edition
Cela signifie donc que la suite $(b_n)$ est décroissante. Toutes les conjectures de la partie A sont donc validées. On veut donc que: $$ \begin{align} 200 \times 0, 75^n < 1, 5 & \Leftrightarrow 0, 75^n < \dfrac{1, 5}{200} \\\\ &\Leftrightarrow n \text{ln} 0, 75 < \text{ln}\dfrac{1, 5}{200} \\\\ &\Leftrightarrow n >\dfrac{\text{ln}\dfrac{1, 5}{200}}{\text{ln} 0, 75} \approx 17, 008 \end{align}$$ Le processus est donc stabilisé à partir du $18^\text{ème}$ jours.
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